Ovo su brojevi koji se koriste pri brojanju: 1, 2, 3...itd.
Nula nije prirodna.
Prirodni brojevi se obično označavaju simbolom N.
Cijeli brojevi. Pozitivni i negativni brojevi
Zovu se dva broja koja se razlikuju samo predznakom suprotan, na primjer, +1 i -1, +5 i -5. Znak "+" se obično ne piše, ali se pretpostavlja da je ispred broja "+". Takvi brojevi se nazivaju pozitivan. Pozivaju se brojevi kojima prethodi znak "-". negativan.
Prirodni brojevi, njihove suprotnosti i nula nazivaju se cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva označen je simbolom Z.
Racionalni brojevi
To su konačni razlomci i beskonačni periodični razlomci. Na primjer,
Skup racionalnih brojeva je označen P. Svi cijeli brojevi su racionalni.
Iracionalni brojevi
Beskonačan neperiodični razlomak naziva se iracionalan broj. Na primjer:
Skup iracionalnih brojeva je označen J.
Realni brojevi
Zove se skup svih racionalnih i svih iracionalnih brojeva skup pravih (stvarnih) brojevima.
Realni brojevi su označeni simbolom R.
Zaokruživanje brojeva
Uzmite u obzir broj 8,759123... . Zaokružiti na najbliži cijeli broj znači zapisati samo onaj dio broja koji je ispred decimalne točke. Zaokruživanje na desetine znači zapisivanje cijelog dijela i nakon decimalnog zareza jednu znamenku; zaokružiti na stotinke - dvije znamenke nakon decimalne točke; do tisućinke - tri znamenke itd.
Dodamo li broj 0 lijevo od niza prirodnih brojeva, dobit ćemo niz pozitivnih cijelih brojeva:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Cjelobrojni negativni brojevi
Razmotrimo mali primjer. Slika lijevo prikazuje termometar koji pokazuje temperaturu od 7 °C topline. Ako temperatura padne za 4°C, termometar će pokazati 3°C topline. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:
Napomena: svi stupnjevi su napisani slovom C (Celzius), znak stupnja je odvojen od broja razmakom. Na primjer, 7 °C.
Ako temperatura padne za 7 °C, termometar će pokazati 0 °C. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:
Ako temperatura padne za 8 °C, termometar će pokazati -1 °C (1 °C mraza). Ali rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se napisati korištenjem prirodnih brojeva i nule.
Ilustrirajmo oduzimanje na nizu pozitivnih cijelih brojeva:
1) Brojimo 4 broja lijevo od broja 7 i dobijemo 3:
2) Brojimo 7 brojeva lijevo od broja 7 i dobijemo 0:
Nemoguće je izbrojati 8 brojeva u nizu pozitivnih cijelih brojeva od broja 7 lijevo. Da bi radnja 7 - 8 bila izvediva, proširujemo niz pozitivnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak -, pokazujući da je ovaj broj lijevo od nule.
Unosi -1, -2, -3, ... čitaju minus 1 , minus 2 , minus 3 , itd.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Rezultirajući niz brojeva naziva se pored cijelih brojeva. Točke s lijeve i desne strane u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.
Desno od broja 0 u ovom redu su brojevi koji se pozivaju prirodnim ili cijeli pozitivan(ukratko - pozitivan).
Lijevo od broja 0 u ovom redu su brojevi koji se pozivaju cijeli negativan(ukratko - negativan).
Broj 0 je cijeli broj, ali nije ni pozitivan ni negativan. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.
Stoga, niz cijelih brojeva sastoji se od negativnih cijelih brojeva, nule i pozitivnih cijelih brojeva.
Usporedba cijelih brojeva
Usporedi dva cijela broja- znači saznati koji je od njih veći, a koji manji ili utvrditi da su brojevi jednaki.
Možete usporediti cijele brojeve pomoću retka cijelih brojeva, budući da su brojevi u njemu raspoređeni od najmanjeg prema najvećem ako se krećete duž reda slijeva nadesno. Stoga, u nizu cijelih brojeva, možete zamijeniti zareze znakom manje od:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Stoga, Od dva cijela broja, onaj s desne strane je veći, a onaj s lijeve strane manji., sredstva:
1) Svaki pozitivan broj veći je od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja:
1 > 0; 15 > -16
2) Bilo koji negativan broj manji od nule:
7 < 0; -357 < 0
3) Od dva negativna broja veći je onaj koji je desno u nizu cijelih brojeva.
U ovom članku ćemo definirati skup cijelih brojeva, razmotriti koji se cijeli brojevi nazivaju pozitivnim, a koji negativnim. Također ćemo pokazati kako se cijeli brojevi koriste za opisivanje promjene nekih veličina. Počnimo s definicijom i primjerima cijelih brojeva.
Cijeli brojevi. Definicija, primjeri
Prvo, prisjetimo se prirodnih brojeva ℕ. Sam naziv sugerira da se radi o brojevima koji se prirodno koriste za brojanje od pamtivijeka. Kako bismo pokrili pojam cijelih brojeva, moramo proširiti definiciju prirodnih brojeva.
Definicija 1. Cijeli brojevi
Cijeli brojevi su prirodni brojevi, njihove suprotnosti i broj nula.
Skup cijelih brojeva označen je slovom ℤ.
Skup prirodnih brojeva ℕ je podskup cijelih brojeva ℤ. Svaki prirodni broj je cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.
Iz definicije proizlazi da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3 cijeli broj. . , broj 0 , kao i brojevi - 1 , - 2 , - 3 , . .
U skladu s tim, dajemo primjere. Brojevi 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 su cijeli brojevi.
Neka koordinatna crta bude povučena vodoravno i usmjerena udesno. Pogledajmo ga kako bismo vizualizirali položaj cijelih brojeva na ravnoj crti.
Referentna točka na koordinatnoj liniji odgovara broju 0, a točke koje leže s obje strane nule odgovaraju pozitivnim i negativnim cijelim brojevima. Svaka točka odgovara jednom cijelom broju.
Bilo koja točka na ravnoj crti čija je koordinata cijeli broj može se doći ako se odvoji određeni broj jediničnih segmenata od ishodišta.
Pozitivni i negativni cijeli brojevi
Od svih cijelih brojeva logično je razlikovati pozitivne i negativne cijele brojeve. Dajemo njihove definicije.
Definicija 2. Pozitivni cijeli brojevi
Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom plus.
Na primjer, broj 7 je cijeli broj sa predznakom plus, odnosno pozitivan cijeli broj. Na koordinatnoj liniji ovaj broj leži desno od referentne točke, za koju se uzima broj 0. Ostali primjeri pozitivnih cijelih brojeva: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .
Definicija 3. Negativni cijeli brojevi
Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom minus.
Primjeri negativnih cijelih brojeva: - 528 , - 2568 , - 1 .
Broj 0 razdvaja pozitivne i negativne cijele brojeve i sam po sebi nije ni pozitivan ni negativan.
Svaki broj koji je suprotan pozitivnom cijelom broju je, po definiciji, negativan cijeli broj. Vrijedi i obrnuto. Recipročna vrijednost bilo kojeg negativnog cijelog broja je pozitivan cijeli broj.
Moguće je dati i druge formulacije definicija negativnih i pozitivnih cijelih brojeva, koristeći njihovu usporedbu s nulom.
Definicija 4. Pozitivni cijeli brojevi
Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.
Definicija 5. Negativni cijeli brojevi
Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi manji od nule.
Prema tome, pozitivni brojevi leže desno od ishodišta na koordinatnoj liniji, a negativni cijeli brojevi leže lijevo od nule.
Ranije smo rekli da su prirodni brojevi podskup cijelih brojeva. Pojasnimo ovu točku. Skup prirodnih brojeva su cijeli pozitivni brojevi. Zauzvrat, skup negativnih cijelih brojeva je skup brojeva suprotnih prirodnim.
Važno!
Svaki prirodni broj može se nazvati cijelim brojem, ali se nijedan cijeli broj ne može nazvati prirodnim brojem. Odgovarajući na pitanje jesu li negativni brojevi prirodni, treba hrabro reći – ne, nisu.
Nepozitivni i nenegativni cijeli brojevi
Dajemo definicije.
Definicija 6. Nenegativni cijeli brojevi
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi i broj nula.
Definicija 7. Nepozitivni cijeli brojevi
Nepozitivni cijeli brojevi su negativni cijeli brojevi i broj nula.
Kao što vidite, broj nula nije ni pozitivan ni negativan.
Primjeri nenegativnih cijelih brojeva: 52 , 128 , 0 .
Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva: - 52 , - 128 , 0 .
Nenegativan broj je broj veći ili jednak nuli. Prema tome, nepozitivan cijeli broj je broj manji ili jednak nuli.
Izrazi "ne-pozitivan broj" i "ne-negativan broj" koriste se radi sažetosti. Na primjer, umjesto da kažete da je broj a cijeli broj veći ili jednak nuli, možete reći: a nije negativan cijeli broj.
Korištenje cijelih brojeva pri opisivanju promjena u vrijednostima
Za što se koriste cijeli brojevi? Prije svega, uz njihovu pomoć prikladno je opisati i odrediti promjenu broja bilo kojih objekata. Uzmimo primjer.
Neka se u skladištu uskladišti određeni broj radilica. Ako se u skladište donese još 500 radilica, njihov broj će se povećati. Broj 500 samo izražava promjenu (povećanje) broja dijelova. Ako se tada iz skladišta odnese 200 dijelova, tada će ovaj broj također karakterizirati promjenu broja radilica. Ovaj put, u smjeru redukcije.
Ako se ništa ne uzme iz skladišta, a ništa se ne donese, tada će broj 0 označavati nepromjenjivost broja dijelova.
Očigledna pogodnost korištenja cijelih brojeva, za razliku od prirodnih brojeva, je da njihov predznak jasno ukazuje na smjer promjene veličine (povećanje ili smanjenje).
Smanjenje temperature za 30 stupnjeva može se okarakterizirati negativnim brojem - 30, a povećanje za 2 stupnja - pozitivnim cijelim brojem 2.
Evo još jednog primjera korištenja cijelih brojeva. Ovaj put zamislimo da nekome moramo dati 5 novčića. Zatim, možemo reći da imamo - 5 novčića. Broj 5 opisuje iznos duga, a znak minus označava da moramo vratiti novčiće.
Ako jednoj osobi dugujemo 2 novčića, a drugoj 3, onda se ukupni dug (5 novčića) može izračunati po pravilu zbrajanja negativnih brojeva:
2 + (- 3) = - 5
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Prvi put negativni brojevi počeli su se koristiti u staroj Kini i Indiji, u Europi su ih u matematičku upotrebu uveli Nicolas Shuquet (1484) i Michael Stiefel (1544).
Algebarska svojstva
nije zatvoren pod dijeljenjem dva cijela broja (na primjer, 1/2). Sljedeća tablica ilustrira nekoliko osnovnih svojstava zbrajanja i množenja za bilo koje cijele brojeve. a, b i c.
| dodatak | množenje | |
| zatvaranje : | a + b- cijeli | a × b- cijeli |
| asocijativnost: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × ( b × c) = (a × b) × c |
| komutativnost: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| postojanje neutralnog elementa: | a + 0 = a | a× 1 = a |
| postojanje suprotnog elementa: | a + (−a) = 0 | a≠ ±1 ⇒ 1/ a nije cijela |
| distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje: | a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) | |
sustavi brojeva |heading4= Hijerarhija brojeva |list4=
|
|||||||||||||
| Kompleksni brojevi | |||||||||||||
brojevni sustavi
|list5=Kardinalni brojevi - Svakako se trebate prebaciti u krevet, ovdje to neće biti moguće...
Bolesnik je bio toliko okružen liječnicima, princezama i slugama da Pierre više nije vidio tu crveno-žutu glavu sa sijedom grivom, koja, unatoč tome što je vidio druga lica, nije ni na trenutak nestala iz vida tijekom cijelog servis. Po opreznom kretanju ljudi koji su okruživali stolicu Pierre je pretpostavio da umirućeg čovjeka podižu i nose.
"Drži mi se za ruku, ispustit ćeš je tako", začuo je uplašeni šapat jednog od slugu, "odozdo... još jedan", govorili su glasovi, a teško disanje i koračanje ljudi postali su prebrzi, kao da im je teret koji su nosili iznad snage.
Nositelji, među kojima je bila i Ana Mihajlovna, izjednačili su se s mladićem, a na trenutak su se iza leđa i zatiljka pojavila visoka, debela, otvorena prsa, bolesna ramena bila su debela, podignuta od strane ljudi. držeći ga ispod pazuha, i sijedu, kovrčavu, lavlju glavu. Ova glava, s neobično širokim čelom i jagodicama, prekrasnim senzualnim ustima i veličanstvenim hladnim pogledom, nije bila unakažena blizinom smrti. Bila je ista onakva kakvu ju je Pierre poznavao prije tri mjeseca, kad ga je grof pustio u Petersburg. Ali ova se glava bespomoćno njihala od neravnih koraka nositelja, a hladni, ravnodušni pogled nije znao gdje bi stao.
Nekoliko minuta galame prošlo je pored visokog kreveta; ljudi koji su nosili bolesnika razišli su se. Anna Mihajlovna dotakne Pierreovu ruku i reče mu: — Venez. [Idi.] Pierre se zajedno s njom popeo do kreveta na koji je, u svečanoj pozi, očito vezanoj uz upravo obavljen sakrament, bio položen bolesnik. Ležao je visoko podignute glave na jastuke. Ruke su mu bile simetrično položene na zelenu svilenu deku, s dlanovima prema dolje. Kad je Pierre prišao, grof ga je pogledao izravno, ali je pogledao onim pogledom, čije značenje i značenje čovjek ne može razumjeti. Ili je ovaj pogled rekao apsolutno ništa, samo da, dok god ima očiju, mora se negdje gledati, ili je rekao previše. Pierre je stao, ne znajući što da učini, i upitno pogledao svoju vođu, Anu Mihajlovnu. Anna Mihajlovna mu je žurno pokazala svojim očima, pokazujući na pacijentovu ruku i ljubeći je usnama. Pierre je, marljivo ispruživši vrat da se ne uhvati za deku, izvršio njezin savjet i poljubio njezinu krupnu i mesnatu ruku. Niti jedna ruka, niti jedan mišić grofova lica nije zadrhtao. Pierre je ponovno upitno pogledao Anu Mihajlovnu, sada pitajući što bi trebao učiniti. Anna Mihajlovna mu je očima pokazala stolicu koja je stajala pokraj kreveta. Pierre je poslušno počeo sjediti na naslonjaču, nastavljajući očima ispitivati je li učinio što je trebalo. Anna Mihajlovna kimne glavom s odobravanjem. Pierre je ponovno zauzeo simetrično naivan položaj egipatskog kipa, očito suosjećajući što njegovo nespretno i debelo tijelo zauzima tako velik prostor, i koristeći svu svoju mentalnu snagu da se čini što manjim. Pogledao je grofa. Grof je pogledao mjesto gdje je bilo Pierreovo lice, dok je stajao. Anna Mihajlovna je na svom položaju pokazala dirljivu važnost ove posljednje minute susreta između oca i sina. To je trajalo dvije minute, što se Pierreu činilo sat vremena. Odjednom se pojavi drhtaj u velikim mišićima i borama grofova lica. Jeza se pojačala, lijepa su se usta iskrivila (tek je tada Pierre shvatio u kojoj je mjeri njegov otac blizu smrti), iz iskrivljenih usta začuo se nerazgovijetan promukli zvuk. Anna Mihajlovna je marljivo pogledala u oči pacijenta i, pokušavajući pogoditi što mu treba, pokazala je ili na Pierrea, pa na piće, zatim je šaptom upitno pozvala princa Vasilija, pa pokazala na pokrivač. Oči i lice bolesnika pokazivali su nestrpljenje. Potrudio se pogledati slugu, koji je stajao na uzglavlju kreveta ne odlazeći.
"Žele se prevrnuti na drugu stranu", šapnuo je sluga i ustao da okrene grofovo teško tijelo prema zidu.
Pierre je ustao da pomogne slugi.
Dok se grof okretao, jedna mu je ruka bespomoćno pala unatrag i uzalud se trudio da je povuče. Je li grof primijetio onaj pogled užasa s kojim je Pierre gledao ovu beživotnu ruku, ili koja je druga misao bljesnula njegovom umirućom glavom u tom trenutku, ali je pogledao u neposlušnu ruku, u izraz užasa na Pierreovu licu, opet u ruku, a na licu je imao slabašan, patnički osmijeh koji se nije slagao s njegovim crtama lica, izražavajući takoreći ruganje vlastitoj nemoći. Odjednom, pri pogledu na ovaj osmijeh, Pierre je osjetio jezu u prsima, štipanje u nosu, a suze su mu zamaglile vid. Pacijent je okrenut na bok uza zid. Uzdahnuo je.
- Il est assoupi, [Drijemao je] - rekla je Ana Mihajlovna, primijetivši princezu koja je došla zamijeniti. - Allons. [Idemo.]
Pierre je otišao.
1) Odmah dijelim sa, budući da su oba broja 100% djeljiva sa:
2) Podijelit ću s preostalim velikim brojevima (s), budući da su podijeljeni s bez ostatka (istodobno, neću razlagati - to je već zajednički djelitelj):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) Otići ću na miru i početi razmatrati brojeve i. Oba broja su točno djeljiva sa (završavaju parnim znamenkama (u ovom slučaju prikazujemo kao, ali se mogu podijeliti sa)):
4) Radimo s brojevima i. Imaju li zajedničke djelitelje? Lako je kao u prethodnim koracima, a ne možete reći, pa ćemo ih onda samo rastaviti na jednostavne čimbenike:
5) Kao što vidimo, bili smo u pravu: i nemamo zajedničkih djelitelja, a sada trebamo množiti.
GCD
Zadatak broj 2. Pronađite GCD brojeva 345 i 324
Ovdje ne mogu brzo pronaći barem jedan zajednički djelitelj, pa samo rastavljam na proste faktore (što je manje moguće):
Točno, GCD, i ja u početku nismo provjerili kriterij djeljivosti i, možda, ne bih morao raditi toliko radnji.
Ali provjerili ste, zar ne?
Kao što vidite, prilično je lako.
Najmanji zajednički višekratnik (LCM) - štedi vrijeme, pomaže u rješavanju problema izvan okvira
Recimo da imate dva broja - i. Koji je najmanji broj koji je djeljiv bez traga(tj. potpuno)? Teško zamisliti? Evo vizualnog traga za vas:
Sjećate li se što to slovo znači? Tako je, samo cijeli brojevi. Dakle, koji je najmanji broj koji odgovara x? :
U ovom slučaju.
Iz ovog jednostavnog primjera slijedi nekoliko pravila.
Pravila za brzo pronalaženje NOO-a
Pravilo 1. Ako je jedan od dva prirodna broja djeljiv s drugim brojem, tada je veći od ta dva broja njihov najmanji zajednički višekratnik.
Pronađite sljedeće brojeve:
- NOK (7;21)
- NOK (6;12)
- NOK (5;15)
- NOK (3;33)
Naravno, lako ste se nosili s ovim zadatkom i dobili ste odgovore -, i.
Imajte na umu da u pravilu govorimo o DVA broja, ako ima više brojeva, onda pravilo ne funkcionira.
Na primjer, LCM (7;14;21) nije jednak 21, jer se ne može podijeliti bez ostatka sa.
Pravilo 2. Ako su dva (ili više od dva) broja međusobno prosta, tada je najmanji zajednički višekratnik jednak njihovom umnošku.
pronaći NOO za sljedeće brojeve:
- NOC (1;3;7)
- NOK (3;7;11)
- NOK (2;3;7)
- NOK (3;5;2)
Jeste li brojali? Evo odgovora - , ; .
Kao što razumijete, nije uvijek tako lako uzeti i podići ovaj isti x, pa za malo složenije brojeve postoji sljedeći algoritam:
Hoćemo li vježbati?
Pronađite najmanji zajednički višekratnik - LCM (345; 234)
Rastavimo svaki broj:
Zašto sam upravo napisao?
Zapamtite znakove djeljivosti sa: djeljiv sa (zadnja znamenka je parna) i zbroj znamenki djeljiv sa.
U skladu s tim, možemo odmah podijeliti po, zapisati ga kao.
Sada ispisujemo najdužu ekspanziju u retku - drugu:
Dodajmo tome brojeve iz prvog proširenja, kojih nema u onome što smo napisali:
Napomena: napisali smo sve osim, jer to već imamo.
Sada moramo pomnožiti sve ove brojeve!
Pronađite sami najmanji zajednički višekratnik (LCM).
Kakve ste odgovore dobili?
Evo što mi se dogodilo:
Koliko vam je trebalo da pronađete NOO? Moje vrijeme je 2 minute, stvarno znam jedan trik, koju predlažem da odmah otvorite!
Ako ste vrlo pažljivi, vjerojatno ste primijetili da smo za zadane brojeve već tražili GCD i mogli biste uzeti faktorizaciju tih brojeva iz tog primjera, čime biste pojednostavili svoj zadatak, ali to je daleko od svega.
Pogledajte sliku, možda vam padne na pamet još neka razmišljanja:
Dobro? Dat ću vam savjet: pokušajte se umnožiti NOO i GCD među sobom i zapišite sve faktore koji će biti pri množenju. Jeste li uspjeli? Trebali biste završiti s ovakvim lancem:
Pogledajte to pobliže: usporedite čimbenike s načinom na koji se i razlažu.
Kakav zaključak možete izvući iz ovoga? Pravo! Ako pomnožimo vrijednosti NOO i GCD između sebe, tada dobivamo umnožak tih brojeva.
Sukladno tome, imaju brojeve i značenje GCD(ili NOO), možemo pronaći NOO(ili GCD) na sljedeći način:
1. Pronađite umnožak brojeva:
2. Dobiveni proizvod podijelimo našim GCD (6240; 6800) = 80:
To je sve.
Napišimo pravilo u općem obliku:
Pokušaj pronaći GCD ako se zna da:
Jeste li uspjeli? .
Negativni brojevi - "lažni brojevi" i njihovo prepoznavanje od strane čovječanstva.
Kao što ste već shvatili, ovo su brojevi suprotni prirodnim, odnosno:
Čini se da su tako posebni?
No činjenica je da su negativni brojevi “osvojili” svoje pravo mjesto u matematici sve do 19. stoljeća (do tog trenutka bilo je golemih kontroverzi postoje li ili ne).
Sam negativni broj nastao je zbog takve operacije s prirodnim brojevima kao što je "oduzimanje".
Doista, oduzmite od - to je negativan broj. Zato se skup negativnih brojeva često naziva "proširenje skupa prirodnih brojeva".
Negativne brojeve ljudi dugo nisu prepoznavali.
Dakle, Stari Egipat, Babilon i Stara Grčka - svjetla svog vremena, nisu prepoznavali negativne brojeve, a u slučaju dobivanja negativnih korijena u jednadžbi (na primjer, kao što imamo), korijeni su odbačeni kao nemogući.
Prvi put negativni brojevi dobili su pravo na postojanje u Kini, a potom u 7. stoljeću u Indiji.
Što mislite o ovoj ispovijedi?
Tako je, počeli su se označavati negativni brojevi dugovi (inače - manjak).
Vjerovalo se da su negativni brojevi privremena vrijednost, koja će se kao rezultat promijeniti u pozitivnu (to jest, novac će se i dalje vratiti vjerovniku). Međutim, indijski matematičar Brahmagupta već je tada smatrao negativne brojeve ravnopravno s pozitivnim.
U Europi je korisnost negativnih brojeva, kao i činjenica da oni mogu označavati dug, došla mnogo kasnije, dakle tisućljeće.
Prvi spomen viđen je 1202. godine u “Knjizi Abacus” Leonarda iz Pize (odmah kažem da autor knjige nema nikakve veze s Kosim tornjem u Pizi, ali Fibonaccijevi brojevi su njegovo djelo ( nadimak Leonarda iz Pize je Fibonacci)).
Dakle, u XVII stoljeću Pascal je to vjerovao.
Što mislite kako je to opravdao?
Tako je, "ništa ne može biti manje od NIŠTA".
Odjek tih vremena ostaje činjenica da se negativni broj i operacija oduzimanja označavaju istim simbolom - minus "-". I istina: . Je li broj " " pozitivan, koji se oduzima, ili negativan, koji se dodaje? ... Nešto iz serije "što je prvo: kokoš ili jaje?" Evo takve vrste ove matematičke filozofije.
Negativni brojevi osigurali su svoje pravo na postojanje pojavom analitičke geometrije, drugim riječima, kada su matematičari uveli takvu stvar kao realnu os. 
Od tog trenutka dolazi do ravnopravnosti. Međutim, i dalje je bilo više pitanja nego odgovora, na primjer:
proporcija
Taj se omjer naziva Arnoov paradoks. Razmislite o tome, što je tu sumnjivo?
Razgovarajmo zajedno " " više od " " zar ne? Dakle, prema logici, lijeva strana proporcije trebala bi biti veća od desne strane, ali su jednake ... Ovdje je paradoks.
Kao rezultat toga, matematičari su se složili da je Karl Gauss (da, da, to je onaj koji je razmatrao zbroj (ili) brojeva) 1831. godine tome stao na kraj.
Rekao je da negativni brojevi imaju ista prava kao i pozitivni, a to što se ne odnose na sve ne znači ništa, jer razlomci ne vrijede ni za mnoge stvari (ne događa se da kopač iskopa rupu, ne možete kupiti kartu za kino itd.).
Matematičari su se smirili tek u 19. stoljeću, kada su teoriju negativnih brojeva stvorili William Hamilton i Hermann Grassmann.
Eto koliko su kontroverzni ti negativni brojevi.
Pojava "praznine", ili biografija nule.
U matematici poseban broj.
Na prvi pogled, ovo nije ništa: zbrojite, oduzmite - ništa se neće promijeniti, ali samo ga morate pripisati pravu na "", a rezultirajući broj bit će višestruko veći od izvornog.
Množenjem s nulom sve pretvaramo u ništa, ali ne možemo dijeliti s "ništa". Jednom riječju, čarobni broj)
Povijest nule duga je i komplicirana.
Trag nule nalazi se u spisima Kineza 2000. godine. a još ranije kod Maja. Prva upotreba simbola nule, kakav je danas, viđena je među grčkim astronomima.
Postoje mnoge verzije zašto je odabrana takva oznaka "ništa".
Neki su povjesničari skloni vjerovati da je riječ o omikronu, t.j. Prvo slovo grčke riječi za ništa je ouden. Prema drugoj verziji, riječ "obol" (kovanica gotovo bez vrijednosti) dala je život simbolu nule.
Nula (ili nula) kao matematički simbol prvi se put pojavljuje među Indijancima(imajte na umu da su se negativni brojevi tamo počeli "razvijati").
Prvi pouzdani dokazi o pisanju nule datiraju iz 876. godine, a u njima je "" komponenta broja.
I nula je u Europu došla sa zakašnjenjem - tek 1600. godine, i baš kao i negativni brojevi, naišla je na otpor (što možete, oni su Europljani).
“Zero je često bio omražen, dugo se bojao, pa čak i zabranjivan”— piše američki matematičar Charles Seif.
Dakle, turski sultan Abdul-Hamid II krajem 19.st. naredio je svojim cenzorima da izbrišu formulu vode H2O iz svih udžbenika kemije, uzimajući slovo "O" za nulu i ne želeći da njegovi inicijali budu klevetani zbog blizine prezrene nule.
Na internetu možete pronaći rečenicu: “Nula je najmoćnija sila u Svemiru, može sve! Nula stvara red u matematici, a u nju unosi i kaos. Apsolutno točna poenta :)
Sažetak odjeljka i osnovne formule
Skup cijelih brojeva sastoji se od 3 dijela:
- prirodni brojevi (u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
- brojevi suprotni prirodnim;
- nula - " "
Skup cijelih brojeva je označen slovo Z.
1. Prirodni brojevi
Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata.
Skup prirodnih brojeva je označen slovo N.
U operacijama s cijelim brojevima trebat će vam sposobnost pronalaženja GCD i LCM.
Najveći zajednički djelitelj (GCD)
Da biste pronašli NOD trebate:
- Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ničim drugim osim samim sobom ili, na primjer, itd.).
- Zapišite čimbenike koji su dio oba broja.
- Pomnožite ih.
Najmanji zajednički višekratnik (LCM)
Da biste pronašli NOC trebate:
- Faktorizirajte brojeve u proste faktore (to već znate vrlo dobro).
- Napišite čimbenike uključene u proširenje jednog od brojeva (bolje je uzeti najduži lanac).
- Dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva.
- Pronađite umnožak rezultirajućih faktora.
2. Negativni brojevi
To su brojevi koji su suprotni prirodnim brojevima, odnosno:
Sada želim čuti od tebe...
Nadam se da ste cijenili super-korisne "trikove" ovog odjeljka i shvatili kako će vam oni pomoći na ispitu.
I što je još važnije, u životu. Ne govorim o tome, ali vjerujte mi, ovaj jest. Sposobnost brzog brojanja i bez pogrešaka spašava u mnogim životnim situacijama.
Sad je tvoj red!
Napišite, hoćete li u izračunima koristiti metode grupiranja, kriterije djeljivosti, GCD i LCM?
Možda ste ih već koristili? Gdje i kako?
Možda imate pitanja. Ili prijedlozi.
Napišite u komentarima kako vam se sviđa članak.
I sretno na ispitima!
