Pi je jedan od najpopularnijih matematičkih pojmova. O njemu se pišu slike, snimaju filmovi, svira mu se na glazbalima, posvećuju mu se pjesme i blagdani, traži se i nalazi u svetim tekstovima.
Tko je otkrio pi?
Tko je i kada prvi otkrio broj π i dalje ostaje misterija. Poznato je da su ga već graditelji drevnog Babilona u potpunosti iskoristili u svom dizajnu. Pločice s klinastim pismom koje su stare tisućama godina čak čuvaju probleme za koje je predloženo da se riješe pomoću π. Istina, tada se vjerovalo da je π jednako tri. O tome svjedoči ploča pronađena u gradu Susa, dvjesto kilometara od Babilona, gdje je broj π označen kao 3 1/8.
U procesu izračunavanja π, Babilonci su otkrili da radijus kruga kao tetive ulazi u njega šest puta, te su krug podijelili na 360 stupnjeva. A istovremeno su učinili isto sa orbitom sunca. Stoga su odlučili uzeti u obzir da godina ima 360 dana.
U starom Egiptu π je bio jednak 3,16.
U staroj Indiji - 3.088.
U Italiji na prijelazu ere vjerovalo se da je π jednak 3,125.
U antici se prvi spomen broja π odnosi na poznati problem kvadrature kruga, odnosno nemogućnost da se pomoću šestara i ravnala konstruiše kvadrat čija je površina jednaka površini određenog kruga. Arhimed je izjednačio π s razlomkom 22/7.
Ljudi najbliži točnoj vrijednosti π došli su u Kini. Izračunato je u 5. stoljeću poslije Krista. e. poznati kineski astronom Tzu Chun Zhi. π je izračunat vrlo jednostavno. Trebalo je dva puta napisati neparne brojeve: 11 33 55, a zatim, podijelivši ih na pola, staviti prvi u nazivnik razlomka, a drugi u brojnik: 355/113. Rezultat se slaže s modernim izračunima π do sedme znamenke.
Zašto π – π?
Sada čak i školarci znaju da je broj π matematička konstanta jednaka omjeru opsega kruga i duljine njegovog promjera i jednaka je π 3,1415926535 ... a zatim nakon decimalne točke - do beskonačnosti.
Oznaku π broj je dobio na složen način: prvi je 1647. godine matematičar Outrade ovim grčkim slovom opisao duljinu kruga. Uzeo je prvo slovo grčke riječi περιφέρεια - “periferija”. Godine 1706. engleski učitelj William Jones u svom djelu “Pregled postignuća matematike” već je omjer opsega kruga i njegovog promjera nazvao slovom π. A ime je zacementirao matematičar iz 18. stoljeća Leonard Euler, pred čijim su autoritetom ostali pognuli glavu. Tako je π postalo π.
Jedinstvenost broja
Pi je zaista jedinstven broj.
1. Znanstvenici vjeruju da je broj znamenki u broju π beskonačan. Njihov se redoslijed ne ponavlja. Štoviše, nitko nikada neće moći pronaći ponavljanja. Budući da je broj beskonačan, može sadržavati apsolutno sve, čak i Rahmanjinovu simfoniju, Stari zavjet, vaš telefonski broj i godinu u kojoj će se dogoditi Apokalipsa.
2. π je povezan s teorijom kaosa. Znanstvenici su do ovog zaključka došli nakon što su izradili Baileyjev računalni program koji je pokazao da je niz brojeva u π apsolutno slučajan, što je u skladu s teorijom.
3. Gotovo je nemoguće u potpunosti izračunati broj – oduzelo bi previše vremena.
4. π je iracionalan broj, odnosno njegova se vrijednost ne može izraziti razlomkom.
5. π – transcendentni broj. Ne može se dobiti izvođenjem algebarskih operacija nad cijelim brojevima.
6. Trideset i devet decimalnih mjesta u broju π dovoljno je da se izračuna duljina kruga koji okružuje poznate kozmičke objekte u Svemiru, uz pogrešku polumjera atoma vodika.
7. Broj π povezuje se s konceptom “zlatnog reza”. U procesu mjerenja Velike piramide u Gizi, arheolozi su otkrili da je njezina visina povezana s duljinom njezine baze, baš kao što je polumjer kruga povezan s njezinom duljinom.
Zapisi vezani za π
Godine 2010. Yahoo matematičar Nicholas Zhe uspio je izračunati dva kvadrilijuna decimalnih mjesta (2x10) u broju π. Bilo je potrebno 23 dana, a matematičaru je bilo potrebno mnogo pomoćnika koji su radili na tisućama računala, ujedinjenih korištenjem distribuirane računalne tehnologije. Metoda je omogućila izvođenje izračuna tako fenomenalnom brzinom. Za izračunavanje iste stvari na jednom računalu trebalo bi više od 500 godina.
Da biste sve to jednostavno zapisali na papir, potrebna vam je papirna traka duga više od dvije milijarde kilometara. Ako proširite takav zapis, njegov će kraj izaći izvan Sunčevog sustava.
Kinez Liu Chao postavio je rekord u pamćenju niza znamenki broja π. U roku od 24 sata i 4 minute, Liu Chao je izgovorio 67.890 decimalnih mjesta bez i jedne pogreške.
π ima mnogo obožavatelja. Svira se na glazbenim instrumentima, a pokazalo se da izvrsno “zvuči”. Oni to pamte i za to smišljaju razne tehnike. Iz zabave ga skinu na svoje računalo i hvale se jedni drugima tko ih je najviše skinuo. Dižu mu se spomenici. Na primjer, postoji takav spomenik u Seattleu. Nalazi se na stepenicama ispred Muzeja umjetnosti.
π se koristi u dekoracijama i dizajnu interijera. Njemu su posvećene pjesme, traže ga u svetim knjigama i na iskopinama. Postoji čak i “Klub π”.
U najboljoj tradiciji π, ne jedan, već dva dana u godini posvećena su broju! Prvi put se dan π slavi 14. ožujka. Trebate si čestitati točno u 1 sat, 59 minuta, 26 sekundi. Dakle, datum i vrijeme odgovaraju prvim znamenkama broja - 3.1415926.
Po drugi put se praznik π slavi 22. srpnja. Ovaj dan je povezan s takozvanim "približnim π", koji je Arhimed zapisao kao razlomak.
Obično na ovaj dan studenti, školarci i znanstvenici organiziraju smiješne flash mobove i akcije. Matematičari, zabavljajući se, pomoću π izračunavaju zakone sendviča koji pada i daju jedni drugima komične nagrade.
I usput, π se zapravo može naći u svetim knjigama. Na primjer, u Bibliji. I tamo je broj π jednak... tri.
Uvod
Članak sadrži matematičke formule, pa da biste ih pročitali, idite na web mjesto kako biste ih ispravno prikazali. Broj \(\pi\) ima bogatu povijest. Ova konstanta označava omjer opsega kruga i njegovog promjera.
U znanosti se broj \(\pi \) koristi u svim izračunima koji uključuju krugove. Počevši od volumena limenke soda, do orbita satelita. I ne samo krugovi. Zaista, u proučavanju zakrivljenih linija, broj \(\pi \) pomaže u razumijevanju periodičkih i oscilatornih sustava. Na primjer, elektromagnetski valovi, pa čak i glazba.
Godine 1706., u knjizi A New Introduction to Mathematics britanskog znanstvenika Williama Jonesa (1675.-1749.), slovo grčkog alfabeta \(\pi\) prvi put je korišteno za predstavljanje broja 3,141592.... Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιϕερεια - krug, periferija i περιµετρoς - opseg. Oznaka je postala općeprihvaćena nakon rada Leonharda Eulera 1737. godine.
Geometrijsko razdoblje
Konstantnost omjera duljine bilo kojeg kruga i njegovog promjera uočena je dugo vremena. Stanovnici Mezopotamije koristili su prilično grubu aproksimaciju broja \(\pi\). Kao što slijedi iz drevnih problema, oni koriste vrijednost \(\pi ≈ 3\) u svojim izračunima.
Precizniju vrijednost za \(\pi\) koristili su stari Egipćani. U Londonu i New Yorku čuvaju se dva komada staroegipatskog papirusa koji se nazivaju "Rinda papirus". Papirus je sastavio prepisivač Armes negdje između 2000.-1700. Armes je u svom papirusu napisao da je površina kruga radijusa \(r\) jednaka površini kvadrata sa stranicom jednakom \(\frac(8)(9) \) od promjer kruga \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), odnosno \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Stoga \(\pi = 3,16\).
Starogrčki matematičar Arhimed (287.-212. pr. Kr.) prvi je postavio problem mjerenja kružnice na znanstvenu osnovu. Dobio je ocjenu \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.
Metoda je prilično jednostavna, ali u nedostatku gotovih tablica trigonometrijskih funkcija bit će potrebno vađenje korijena. Osim toga, aproksimacija konvergira na \(\pi \) vrlo sporo: sa svakom iteracijom pogreška se smanjuje samo četiri puta.
Analitičko razdoblje
Unatoč tome, sve do sredine 17. stoljeća svi pokušaji europskih znanstvenika da izračunaju broj \(\pi\) svodili su se na povećanje stranica poligona. Na primjer, nizozemski matematičar Ludolf van Zeijlen (1540.-1610.) izračunao je približnu vrijednost broja \(\pi\) s točnošću od 20 decimalnih znamenki.
Trebalo mu je 10 godina da izračuna. Udvostručivši broj stranica upisanih i opisanih mnogokuta pomoću Arhimedove metode, došao je do \(60 \cdot 2^(29) \) - trokuta kako bi izračunao \(\pi \) s 20 decimalnih mjesta.
Nakon njegove smrti, u njegovim je rukopisima otkriveno još 15 točnih znamenki broja \(\pi\). Ludolf je oporukom ostavio da mu se na nadgrobnoj ploči uklešu znakovi koje nađe. U njegovu čast, broj \(\pi\) se ponekad nazivao "Ludolfov broj" ili "Ludolfova konstanta".
Jedan od prvih koji je uveo metodu drugačiju od Arhimedove bio je François Viète (1540-1603). Došao je do rezultata da krug čiji je promjer jednak jedan ima površinu:
\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]
S druge strane, površina je \(\frac(\pi)(4)\). Zamjenom i pojednostavljenjem izraza možemo dobiti sljedeću formulu beskonačnog umnoška za izračun približne vrijednosti \(\frac(\pi)(2)\):
\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]
Dobivena formula je prvi točan analitički izraz za broj \(\pi\). Uz ovu formulu, Viet je, koristeći Arhimedovu metodu, dao, koristeći upisane i opisane poligone, počevši sa 6-kutom i završavajući poligonom sa \(2^(16) \cdot 6 \) stranicama, aproksimaciju broja \(\pi \) s 9 s pravim predznacima.
Engleski matematičar William Brounker (1620-1684), koristeći kontinuirani razlomak, dobio je sljedeće rezultate za izračunavanje \(\frac(\pi)(4)\):
\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]
Ova metoda izračunavanja aproksimacije broja \(\frac(4)(\pi)\) zahtijeva prilično mnogo izračuna da bi se dobila čak i mala aproksimacija.
Vrijednosti dobivene kao rezultat zamjene su ili veće ili manje od broja \(\pi\), i svaki put su bliže pravoj vrijednosti, ali da bi se dobila vrijednost 3,141592 bit će potrebno izvesti prilično velike kalkulacije.
Drugi engleski matematičar John Machin (1686-1751) 1706. godine, za izračunavanje broja \(\pi\) sa 100 decimalnih mjesta, upotrijebio je formulu koju je izveo Leibniz 1673. godine i primijenio je na sljedeći način:
\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]
Niz brzo konvergira i uz njegovu pomoć možete izračunati broj \(\pi \) s velikom točnošću. Ove vrste formula korištene su za postavljanje nekoliko rekorda tijekom računalne ere.
U 17. stoljeću s početkom razdoblja matematike varijabilnih vrijednosti, započela je nova faza u izračunavanju \(\pi\). Njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 1673. godine pronašao je dekompoziciju broja \(\pi\), koja se općenito može napisati kao sljedeći beskonačni niz:
\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) — \frac(1)(7) + \frac(1)(9) — \frac(1) (11) + \cdots) \]
Niz se dobiva zamjenom x = 1 u \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) — \cdots\)
Leonhard Euler razvija Leibnizovu ideju u svojim radovima o korištenju nizova za arctan x u izračunavanju broja \(\pi\). Rasprava "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (O različitim metodama izražavanja kvadrature kruga približnim brojevima), napisana 1738., raspravlja o metodama za poboljšanje izračuna pomoću Leibnizove formule.
Euler piše da će niz za arktangens konvergirati brže ako argument teži nuli. Za \(x = 1\), konvergencija niza je vrlo spora: za izračunavanje s točnošću od 100 znamenki potrebno je dodati \(10^(50)\) članova niza. Možete ubrzati izračune smanjivanjem vrijednosti argumenta. Ako uzmemo \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), tada ćemo dobiti niz
\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]
Prema Euleru, ako uzmemo 210 članova ovog niza, dobit ćemo 100 točnih znamenki broja. Dobiveni niz je nezgodan jer je potrebno znati prilično točnu vrijednost iracionalnog broja \(\sqrt(3)\). Euler je također koristio u svojim izračunima proširenja arktangensa u zbroj arktangensa manjih argumenata:
\[gdje je x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]
Nisu objavljene sve formule za izračunavanje \(\pi\) koje je Euler koristio u svojim bilježnicama. U objavljenim radovima i bilježnicama razmatrao je 3 različita niza za izračunavanje arktangensa, a također je dao mnoge izjave u vezi s brojem sumirajućih članova potrebnih za dobivanje približne vrijednosti \(\pi\) s danom točnošću.
Sljedećih godina, preciziranja vrijednosti broja \(\pi\) događala su se sve brže i brže. Na primjer, 1794. godine Georg Vega (1754-1802) već je identificirao 140 znakova, od kojih se samo 136 pokazalo točnim.
Razdoblje računanja
20. stoljeće obilježilo je potpuno novo razdoblje u računanju broja \(\pi\). Indijski matematičar Srinivasa Ramanujan (1887.-1920.) otkrio je mnoge nove formule za \(\pi\). Godine 1910. dobio je formulu za izračunavanje \(\pi\) kroz proširenje arktangensa u Taylorov niz:
\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}
Pri k=100 postiže se točnost od 600 ispravnih znamenki broja \(\pi\).
Pojava računala omogućila je značajno povećanje točnosti dobivenih vrijednosti u kraćem vremenu. Godine 1949., u samo 70 sati, koristeći ENIAC, grupa znanstvenika predvođena Johnom von Neumannom (1903.-1957.) dobila je 2037 decimalnih mjesta za broj \(\pi\). Godine 1987. David i Gregory Chudnovsky dobili su formulu s kojom su uspjeli postaviti nekoliko rekorda u izračunavanju \(\pi\):
\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]
Svaki član niza daje 14 znamenki. Godine 1989. dobiveno je 1.011.196.691 decimalno mjesto. Ova je formula vrlo prikladna za izračunavanje \(\pi \) na osobnim računalima. Trenutno su braća profesori na Politehničkom institutu Sveučilišta New York.
Važan nedavni razvoj bilo je otkriće formule 1997. godine od strane Simona Plouffea. Omogućuje vam izdvajanje bilo koje heksadecimalne znamenke broja \(\pi\) bez izračunavanja prethodnih. Formula je nazvana "Bailey-Borwain-Plouffe formula" u čast autora članka u kojem je formula prvi put objavljena. Ovako izgleda:
\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]
Godine 2006. Simon je, koristeći PSLQ, smislio neke zgodne formule za izračunavanje \(\pi\). Na primjer,
\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]
\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]
gdje je \(q = e^(\pi)\). Japanski su znanstvenici 2009. godine pomoću superračunala T2K Tsukuba System dobili broj \(\pi\) s 2.576.980.377.524 decimalnih mjesta. Izračuni su trajali 73 sata i 36 minuta. Računalo je bilo opremljeno sa 640 četverojezgrenih AMD Opteron procesora, koji su pružali performanse od 95 trilijuna operacija u sekundi.
Sljedeći uspjeh u računanju \(\pi\) pripada francuskom programeru Fabriceu Bellardu koji je krajem 2009. godine na svom osobnom računalu s Fedorom 10 postavio rekord izračunavši 2.699.999.990.000 decimalnih mjesta broja \(\pi\ ). U proteklih 14 godina ovo je prvi svjetski rekord koji je postavljen bez uporabe superračunala. Za visoke performanse, Fabrice je koristio formulu braće Chudnovsky. Ukupno je izračun trajao 131 dan (103 dana izračuna i 13 dana provjere rezultata). Bellarovo postignuće pokazalo je da za takve izračune nije potrebno superračunalo.
Samo šest mjeseci kasnije, Francoisov rekord srušili su inženjeri Alexander Yi i Singer Kondo. Za postavljanje rekorda od 5 bilijuna decimalnih mjesta \(\pi\) također je korišteno osobno računalo, ali impresivnijih karakteristika: dva procesora Intel Xeon X5680 na 3,33 GHz, 96 GB RAM-a, 38 TB diskovne memorije i operativni sustav Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Za izračune Alexander i Singer koristili su formulu braće Chudnovsky. Proces izračuna trajao je 90 dana i 22 TB prostora na disku. Godine 2011. postavili su još jedan rekord izračunavši 10 trilijuna decimalnih mjesta za broj \(\pi\). Izračuni su se odvijali na istom računalu na kojem je postavljen njihov prethodni rekord i trajali su ukupno 371 dan. Krajem 2013. Alexander i Singerou popravili su rekord na 12,1 trilijun znamenki broja \(\pi\), za što im je trebalo samo 94 dana da izračunaju. Ovo poboljšanje performansi postiže se optimizacijom performansi softvera, povećanjem broja procesorskih jezgri i značajnim poboljšanjem tolerancije softverskih grešaka.
Trenutačni rekord je onaj Alexandera Yeea i Singer Konda, koji iznosi 12,1 trilijuna decimalnih mjesta \(\pi\).
Tako smo se osvrnuli na metode za izračunavanje broja \(\pi\) koje su se koristile u antičko doba, analitičke metode, a također smo pogledali i suvremene metode i zapise za računanje broja \(\pi\) na računalima.
Popis izvora
- Žukov A.V. Sveprisutni broj Pi - M.: Izdavačka kuća LKI, 2007. - 216 str.
- F.Rudio. O kvadraturi kruga, uz primjenu povijesti pitanja koju je sastavio F. Rudio. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP SSSR, 1936. – 235c.
- Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270s.
- Shukhman, E.V. Približan izračun Pi korištenjem niza za arctan x u objavljenim i neobjavljenim radovima Leonharda Eulera / E.V. Šuhman. — Povijest znanosti i tehnologije, 2008. – br.4. – Str. 2-17.
- Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744. – Vol.9 – 222-236str.
- Shumikhin, S. Broj Pi. Povijest od 4000 godina / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 str.
- Borwein, J.M. Ramanujan i broj Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. U svijetu znanosti. 1988. – br. 4. – str. 58-66.
- Alex Yee. Svijet brojeva. Način pristupa: numberworld.org
Sviđa mi se?
Reći
14. ožujka 2012
14. ožujka matematičari slave jedan od najneobičnijih praznika - Međunarodni dan broja Pi. Ovaj datum nije odabran slučajno: brojčani izraz π (Pi) je 3,14 (3. mjesec (ožujak) 14.).
Prvi put se školarci susreću s ovim neobičnim brojem u osnovnim razredima kada proučavaju krugove i krugove. Broj π je matematička konstanta koja izražava omjer opsega kruga i duljine njegovog promjera. To jest, ako uzmete krug promjera jednakog jedan, tada će opseg biti jednak broju "Pi". Broj π ima beskonačno matematičko trajanje, ali se u svakodnevnim izračunima koristi pojednostavljeni način pisanja broja, ostavljajući samo dva decimalna mjesta - 3,14.
1987. godine prvi put je obilježen ovaj dan. Fizičar Larry Shaw iz San Francisca primijetio je da se u američkom datumskom sustavu (mjesec/dan) datum 14. ožujka - 14. 3. poklapa s brojem π (π = 3,1415926...). Obično proslave počinju u 13:59:26 (π = 3,14 15926 …).
Povijest Pija
Pretpostavlja se da povijest broja π počinje u starom Egiptu. Egipatski matematičari odredili su površinu kruga promjera D kao (D-D/9) 2. Iz ovog zapisa jasno je da je tada broj π bio izjednačen s razlomkom (16/9) 2, odnosno 256/81, tj. π 3.160...
U VI stoljeću. PRIJE KRISTA. u Indiji, u vjerskoj knjizi Jainizma, postoje zapisi koji pokazuju da je broj π u to vrijeme uzet jednak kvadratnom korijenu iz 10, što daje razlomak 3,162...
U 3.st. Arhimed je u svom kratkom djelu "Mjerenje kruga" potkrijepio tri tvrdnje:
- Svaki je krug po veličini jednak pravokutnom trokutu, čije su katete redom jednake duljini kruga i njegovom polumjeru;
- Površine kruga odnose se na kvadrat izgrađen na promjeru od 11 do 14;
- Omjer bilo kojeg kruga i njegovog promjera manji je od 3 1/7 i veći od 3 10/71.
Posljednje stajalište Arhimed je opravdao uzastopnim izračunavanjem opsega pravilnih upisanih i opisanih mnogokuta udvostručavanjem broja njihovih stranica. Prema točnim Arhimedovim proračunima, omjer opsega i promjera je između brojeva 3 * 10 / 71 i 3 * 1/7, što znači da je broj “pi” 3,1419... Prava vrijednost ovog omjera je 3,1415922653...
U 5. stoljeću PRIJE KRISTA. Kineski matematičar Zu Chongzhi pronašao je točniju vrijednost za ovaj broj: 3,1415927...
U prvoj polovici 15.st. Astronom i matematičar Kashi izračunao je π sa 16 decimalnih mjesta.
Stoljeće i pol kasnije u Europi je F. Viet pronašao broj π sa samo 9 pravilnih decimalnih mjesta: napravio je 16 udvostručenja broja stranica mnogokuta. F. Viet je prvi uočio da se π može pronaći pomoću limesa određenih nizova. Ovo je otkriće bilo od velike važnosti; omogućilo je izračunavanje π s bilo kojom točnošću.
Godine 1706. engleski matematičar W. Johnson uvodi oznaku za omjer opsega kruga i njegova promjera i označava ga modernim simbolom π, prvim slovom grčke riječi periferia - krug.
Dugo su znanstvenici diljem svijeta pokušavali razotkriti misterij ovog misterioznog broja.
Koja je poteškoća u izračunavanju vrijednosti π?
Broj π je iracionalan: ne može se izraziti kao razlomak p/q, gdje su p i q cijeli brojevi; ovaj broj ne može biti korijen algebarske jednadžbe. Nemoguće je specificirati algebarsku ili diferencijalnu jednadžbu čiji će korijen biti π, stoga se ovaj broj naziva transcendentnim i izračunava se uzimajući u obzir proces i pročišćava se povećanjem koraka procesa koji se razmatra. Višestruki pokušaji izračuna maksimalnog broja znamenki broja π doveli su do toga da je danas, zahvaljujući suvremenoj računalnoj tehnologiji, moguće izračunati niz s točnošću od 10 trilijuna znamenki iza decimalne točke.
Znamenke decimalnog prikaza broja π prilično su slučajne. U decimalnom proširenju broja možete pronaći bilo koji niz znamenki. Pretpostavlja se da ovaj broj sadrži sve napisane i nenapisane knjige u šifriranom obliku; sve informacije koje se mogu zamisliti nalaze se u broju π.
Misterij ovog broja možete pokušati odgonetnuti sami. Naravno, neće biti moguće zapisati broj "Pi" u cijelosti. Ali za najznatiželjnije predlažem da razmotre prvih 1000 znamenki broja π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Zapamtite broj "Pi"
Trenutno je uz pomoć računalne tehnologije izračunato deset trilijuna znamenki broja "Pi". Maksimalan broj brojeva koje osoba može zapamtiti je sto tisuća.
Za pamćenje maksimalnog broja znamenki broja “Pi” koriste se razne poetične “memorije” u kojima su riječi s određenim brojem slova poredane u istom nizu kao i brojevi u broju “Pi”: 3.1415926535897932384626433832795…. Da biste vratili broj, morate izbrojati broj znakova u svakoj riječi i zapisati je redom.
Tako da znam broj koji se zove "Pi". Dobro napravljeno! (7 znamenki)
Pa su Misha i Anyuta dotrčali
Htjeli su znati broj Pi. (11 znamenki)
Ovo znam i savršeno se sjećam:
I mnogi znakovi su mi nepotrebni, uzalud.
Vjerujmo u naše ogromno znanje
Oni koji su brojili armadu. (21 znamenka)
Jednom kod Kolje i Arine
Počupali smo pernate krevete.
Bijelo paperje je letjelo i vrtilo se,
Istuširao se, smrznuo se,
Zadovoljan
Dao nam ga je
Glavobolja starice.
Wow, duh pahuljica je opasan! (25 znakova)
Možete koristiti stihove koji se rimuju da biste lakše zapamtili pravi broj.
Da ne griješimo,
Morate to ispravno pročitati:
Devedeset dva i šest
Ako se jako potrudiš,
Odmah možete pročitati:
Tri, četrnaest, petnaest,
Devedeset dva i šest.
Tri, četrnaest, petnaest,
Devet, dva, šest, pet, tri, pet.
Baviti se znanošću,
Ovo bi svatko trebao znati.
Možete samo pokušati
I ponavljajte češće:
"Tri, četrnaest, petnaest,
Devet, dvadeset šest i pet."
Još uvijek imate pitanja? Želite li znati više o Piju?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu
1. Relevantnost rada.
U beskonačnoj raznolikosti brojeva, baš kao i među zvijezdama Svemira, ističu se pojedinačni brojevi i čitava njihova „zviježđa“ nevjerojatne ljepote, brojevi izvanrednih svojstava i samo njima svojstvenog jedinstvenog sklada. Samo trebate moći vidjeti te brojeve i uočiti njihova svojstva. Pogledajte pobliže prirodni niz brojeva - i naći ćete u njemu puno iznenađujućih i čudnih, smiješnih i ozbiljnih, neočekivanih i znatiželjnih. Onaj koji gleda vidi. Uostalom, ljudi neće ni primijetiti u zvjezdanoj ljetnoj noći ... sjaj. Polarna zvijezda, ako ne usmjere pogled u visine bez oblaka.
Prelazeći iz razreda u razred, upoznao sam naturalne, razlomke, decimalne, negativne, racionalne. Ove sam godine studirao iracionalno. Među iracionalnim brojevima postoji poseban broj, čije točne izračune znanstvenici provode već stoljećima. Naišao sam na to još u 6. razredu dok sam učio temu "Opseg i površina kruga." Naglašeno je da ćemo se s njim često susretati na nastavi u srednjoj školi. Zanimljivi su bili praktični zadaci nalaženja brojčane vrijednosti π. Broj π je jedan od najzanimljivijih brojeva koji se susreću u proučavanju matematike. Nalazi se u raznim školskim disciplinama. Mnogo je zanimljivih činjenica povezanih s brojem π, pa budi interes za proučavanje.
Čuvši puno zanimljivosti o ovom broju, i sama sam odlučila proučavanjem dodatne literature i pretraživanjem interneta saznati što više informacija o njemu i odgovoriti na problematična pitanja:
Koliko dugo ljudi znaju za broj pi?
Zašto ga je potrebno proučavati?
Koje su zanimljive činjenice povezane s njim?
Je li istina da je vrijednost pi približno 3,14
Stoga sam se postavio cilj: istražiti povijest broja π i značaj broja π na današnjem stupnju razvoja matematike.
Zadaci:
Proučite literaturu kako biste dobili informacije o povijesti broja π;
Utvrditi neke činjenice iz “moderne biografije” broja π;
Praktično izračunavanje približne vrijednosti omjera opsega i promjera.
Predmet proučavanja:
Predmet proučavanja: PI broj.
Predmet proučavanja: Zanimljivosti vezane uz PI broj.
2. Glavni dio. Nevjerojatan broj pi.
Nijedan drugi broj nije tako tajanstven kao Pi, sa svojim poznatim neprestanim nizom brojeva. U mnogim područjima matematike i fizike znanstvenici koriste ovaj broj i njegove zakone.
Od svih brojeva koji se koriste u matematici, znanosti, inženjerstvu i svakodnevnom životu, nekoliko brojeva dobiva toliko pažnje kao pi. Jedna knjiga kaže: "Pi osvaja umove znanstvenih genija i matematičara amatera diljem svijeta" ("Fractali for the Classroom").
Može se naći u teoriji vjerojatnosti, u rješavanju problema s kompleksnim brojevima i drugim neočekivanim i od geometrije dalekim područjima matematike. Engleski matematičar Augustus de Morgan jednom je pi nazvao "... tajanstvenim brojem 3,14159... koji gmiže kroz vrata, kroz prozor i kroz krov." Ovaj misteriozni broj, povezan s jednim od tri klasična problema antike - konstruiranjem kvadrata čija je površina jednaka površini danog kruga - za sobom povlači niz dramatičnih povijesnih i zanimljivih zabavnih činjenica.
Neki ga čak smatraju jednim od pet najvažnijih brojeva u matematici. Ali kao što knjiga Fractals for the Classroom navodi, koliko god pi bio važan, “teško je pronaći područja u znanstvenim izračunima koja zahtijevaju više od dvadeset decimalnih mjesta broja pi”.
3. Pojam broja pi
Broj π je matematička konstanta koja izražava omjer opsega kruga i duljine njegovog promjera. Broj π (izgovara se "pi") je matematička konstanta koja izražava omjer opsega kruga i duljine njegovog promjera. Označava se slovom "pi" grčkog alfabeta.
U numeričkom smislu, π počinje kao 3,141592 i ima beskonačno matematičko trajanje.
4. Povijest broja "pi"
Prema riječima stručnjaka, ovaj broj su otkrili babilonski čarobnjaci. Korišten je u izgradnji poznate Babilonske kule. Međutim, nedovoljno precizan izračun vrijednosti Pi doveo je do propasti cijelog projekta. Moguće je da je ova matematička konstanta bila temelj izgradnje legendarnog hrama kralja Salomona.
Povijest broja pi, koji izražava omjer opsega kruga i njegovog promjera, započela je u starom Egiptu. Površina kruga s promjerom d Egipatski matematičari definirali su ga kao (d-d/9) 2 (ovaj unos je ovdje dat u modernim simbolima). Iz gornjeg izraza možemo zaključiti da se u to vrijeme broj p smatrao jednakim razlomku (16/9) 2 , ili 256/81 , tj. π = 3,160...
U svetoj knjizi džainizma (jedna od najstarijih religija koja je postojala u Indiji i nastala u 6. stoljeću prije Krista) postoji naznaka iz koje slijedi da je broj p u to vrijeme uzet jednak, što daje razlomak 3,162... Prahistorijski Grci Eudoks, Hipokrat a drugi su mjerenje kruga sveli na konstrukciju segmenta, a mjerenje kruga na konstrukciju jednakog kvadrata. Treba napomenuti da su stoljećima matematičari iz različitih zemalja i naroda pokušavali izraziti omjer opsega i promjera kao racionalan broj.
Arhimed u 3. stoljeću PRIJE KRISTA. u svom kratkom djelu “Mjerenje kruga” potkrijepio je tri tvrdnje:
Svaki je krug po veličini jednak pravokutnom trokutu, čije su katete redom jednake duljini kruga i njegovom polumjeru;
Područja kruga su povezana s kvadratom izgrađenim na promjeru, kao 11 do 14;
Omjer bilo kojeg kruga i njegovog promjera je manji 3 1/7 i više 3 10/71 .
Prema egzaktnim proračunima Arhimed omjer opsega i promjera nalazi se između brojeva 3*10/71 I 3*1/7 , što znači da π = 3,1419... Pravo značenje ovog odnosa 3,1415922653... U 5. stoljeću PRIJE KRISTA. kineski matematičar Zu Chongzhija pronađena je točnija vrijednost za ovaj broj: 3,1415927...
U prvoj polovici 15.st. zvjezdarnica Ulugbek, blizu Samarkand, astronom i matematičar al-Kashi izračunati pi na 16 decimalnih mjesta. Al-Kashi napravio jedinstvene izračune koji su bili potrebni za sastavljanje tablice sinusa u koracima od 1" . Ove su tablice imale važnu ulogu u astronomiji.
Stoljeće i pol kasnije u Europi F. Viet pronašao pi sa samo 9 točnih decimalnih mjesta udvostručivši broj stranica poligona 16 puta. Ali u isto vrijeme F. Viet je prvi primijetio da se broj pi može pronaći pomoću limesa određenih nizova. Ovo otkriće je bilo veliko
vrijednost, budući da nam je omogućio izračunavanje pi s bilo kakvom točnošću. Samo 250 godina kasnije al-Kashi njegov rezultat je nadmašen.
Rođendan broja "".
Neslužbeni praznik “PI Day” obilježava se 14. ožujka, što se u američkom formatu (dan/datum) piše kao 3/14, što odgovara približnoj vrijednosti PI.
Postoji alternativna verzija praznika - 22. srpnja. Zove se Približni Pi dan. Činjenica je da predstavljanje ovog datuma kao razlomka (22/7) također daje broj Pi kao rezultat. Vjeruje se da je praznik 1987. izmislio fizičar iz San Francisca Larry Shaw, koji je primijetio da se datum i vrijeme poklapaju s prvim znamenkama broja π.
Zanimljivosti vezane uz broj “”
Znanstvenici sa Sveučilišta u Tokiju, predvođeni profesorom Yasumasa Kanadom, uspjeli su postaviti svjetski rekord u izračunavanju broja Pi na 12.411 trilijuna znamenki. Za to je grupi programera i matematičara bio potreban poseban program, superračunalo i 400 sati rada na računalu. (Guinnessova knjiga rekorda).
Njemački kralj Fridrik II bio je toliko fasciniran ovim brojem da mu je posvetio... cijelu palaču Castel del Monte, u čijim se omjerima može izračunati PI. Sada je čarobna palača pod zaštitom UNESCO-a.
Kako zapamtiti prve znamenke broja “”.
Prve tri znamenke broja = 3,14... nije teško zapamtiti. A da biste zapamtili više znakova, postoje smiješne izreke i pjesme. Na primjer, ove:
Samo treba probati
I zapamti sve kako jest:
Devedeset dva i šest.
S. Bobrov. "Čarobni dvorog"
Svatko tko nauči ovaj katren uvijek će moći imenovati 8 znakova broja :
U sljedećim izrazima brojčani znakovi mogu se odrediti prema broju slova u svakoj riječi:
“Što ja znam o krugovima?" (3,1416);
“Tako da znam broj koji se zove Pi. - Dobro napravljeno!"
(3,1415927);
“Nauči i upoznaj broj iza broja, kako uočiti sreću.”
(3,14159265359)
5. Oznaka za pi
Prvi koji je uveo moderni simbol pi za omjer opsega kruga i njegovog promjera bio je engleski matematičar W.Johnson godine 1706. Kao simbol uzeo je prvo slovo grčke riječi "periferija", što prevedeno znači "krug". Ušao W.Johnson oznaka je postala uobičajena nakon objavljivanja djela L. Euler, koji je prvi put upotrijebio uneseni znak u 1736 G.
Krajem 18.st. A.M.Lagendre na temelju djela I.G. Lamberta dokazao da je pi iracionalan. Zatim njemački matematičar F. Lindeman na temelju istraživanja S.Ermita, pronašao je strogi dokaz da ovaj broj nije samo iracionalan, već i transcendentalan, tj. ne može biti korijen algebarske jednadžbe. Potraga za točnim izrazom za pi nastavljena je i nakon rada F. Vieta. Početkom 17.st. nizozemski matematičar iz Kölna Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (neki ga povjesničari nazivaju L. van Keulen) pronašao 32 točna znaka. Od tada (godina izdanja 1615.) vrijednost broja p s 32 decimalna mjesta naziva se broj Ludolph.
6. Kako zapamtiti broj "Pi" točan na jedanaest znamenki
Broj "Pi" je omjer opsega kruga i njegovog promjera, izražava se kao beskonačni decimalni razlomak. U svakodnevnom životu dovoljno nam je poznavati tri znaka (3,14). Međutim, neki izračuni zahtijevaju veću točnost.
Naši preci nisu imali računala, kalkulatore ili priručnike, ali su se od vremena Petra I. bavili geometrijskim proračunima u astronomiji, strojarstvu i brodogradnji. Naknadno je ovdje dodana elektrotehnika - postoji koncept "kružne frekvencije izmjenične struje". Da bi se zapamtio broj "Pi", izmišljen je dvostih (nažalost, ne znamo autora ni mjesto njegovog prvog izdanja; ali kasnih 40-ih godina dvadesetog stoljeća moskovski su školarci proučavali Kiselevljev udžbenik geometrije, gdje je bilo dano).
Dvostih je napisan po pravilima staroga ruskoga pravopisa, po kojemu poslije suglasnik mora se staviti na kraj riječi "mekano" ili "čvrsto" znak. Evo ga, ovaj divni povijesni dvostih:
Koji će, u šali, uskoro poželjeti
"Pi" zna broj - već zna.
Ima smisla da to upamte svi koji se u budućnosti planiraju baviti preciznim proračunima. Dakle, koji je broj "Pi" točan na jedanaest znamenki? Izbrojite broj slova u svakoj riječi i napišite te brojeve u nizu (prvi broj odvojite zarezom).
Ova je točnost već sasvim dovoljna za inženjerske proračune. Osim drevne, postoji i moderna metoda pamćenja, na koju je ukazao čitatelj koji se predstavio kao Georgiy:
Da ne griješimo,
Morate to ispravno pročitati:
Tri, četrnaest, petnaest,
Devedeset dva i šest.
Samo treba probati
I zapamti sve kako jest:
Tri, četrnaest, petnaest,
Devedeset dva i šest.
Tri, četrnaest, petnaest,
Devet, dva, šest, pet, tri, pet.
Baviti se znanošću,
Ovo bi svatko trebao znati.
Možete samo pokušati
I ponavljajte češće:
"Tri, četrnaest, petnaest,
Devet, dvadeset šest i pet."
Pa, matematičari uz pomoć modernih računala mogu izračunati gotovo bilo koji broj znamenki broja Pi.
7. Pi memorijski zapis
Čovječanstvo se dugo pokušavalo sjetiti znakova pi. Ali kako staviti beskonačnost u memoriju? Omiljeno pitanje profesionalnih mnemoničara. Razvijene su mnoge jedinstvene teorije i tehnike za svladavanje ogromne količine informacija. Mnogi od njih su testirani na pi.
Svjetski rekord postavljen u prošlom stoljeću u Njemačkoj je 40.000 znakova. Ruski rekord za pi vrijednosti postavio je Alexander Belyaev 1. prosinca 2003. u Čeljabinsku. U sat i pol s kratkim pauzama Alexander je na ploču ispisao 2500 znamenki broja pi.
Prije toga, popis od 2000 znakova smatran je rekordom u Rusiji, što je postignuto 1999. u Jekaterinburgu. Prema Alexanderu Belyaevu, voditelju centra za razvoj figurativnog pamćenja, svatko od nas može provesti takav eksperiment sa svojim pamćenjem. Važno je samo poznavati posebne tehnike pamćenja i povremeno vježbati.
Zaključak.
Broj pi pojavljuje se u formulama koje se koriste u mnogim područjima. Fizika, elektrotehnika, elektronika, teorija vjerojatnosti, građevinarstvo i navigacija samo su neki od njih. I čini se da baš kao što nema kraja znakovima broja pi, nema kraja ni mogućnostima praktične primjene ovog korisnog, nedokučivog broja pi.
U modernoj matematici broj pi nije samo omjer opsega i promjera, već je uključen u veliki broj različitih formula.
Ova i druge međuovisnosti omogućile su matematičarima da dalje razumiju prirodu pi.
Točna vrijednost broja π u suvremenom svijetu nije samo znanstvena vrijednost, već se koristi i za vrlo precizne izračune (primjerice, orbita satelita, izgradnja golemih mostova), kao i procjenu brzinu i snagu modernih računala.
Trenutno je broj π povezan s teško vidljivim skupom formula, matematičkih i fizičkih činjenica. Njihov broj i dalje ubrzano raste. Sve to govori o rastućem interesu za najvažniju matematičku konstantu čije proučavanje traje više od dvadeset i dva stoljeća.
Posao koji sam radio bio je zanimljiv. Želio sam naučiti nešto o povijesti broja pi, praktičnim primjenama i mislim da sam postigao svoj cilj. Sumirajući rad, dolazim do zaključka da je ova tema relevantna. Mnogo je zanimljivih činjenica povezanih s brojem π, pa budi interes za proučavanje. U svom radu sam se bliže upoznao sa brojem - jednom od vječnih vrijednosti koju čovječanstvo koristi već stoljećima. Naučio sam neke aspekte njegove bogate povijesti. Otkrio sam zašto drevni svijet nije poznavao točan omjer opsega i promjera. Jasno sam sagledao načine na koje se broj može dobiti. Na temelju pokusa izračunao sam približnu vrijednost broja na razne načine. Obrađeni i analizirani eksperimentalni rezultati.
Svaki školarac danas bi trebao znati što broj znači i približno je jednak. Uostalom, svačije prvo upoznavanje s brojem, njegova upotreba u izračunavanju opsega kruga, površine kruga, događa se u 6. razredu. Ali, nažalost, to znanje za mnoge ostaje formalno i nakon godinu-dvije, malo ljudi se sjeti ne samo da je omjer duljine kruga i njegovog promjera isti za sve krugove, nego se čak teško sjećaju brojčane vrijednosti broja, jednak 3 ,14.
Pokušao sam podići veo bogate povijesti broja koji čovječanstvo koristi stoljećima. Sama sam napravila prezentaciju za svoj rad.
Povijest brojeva je fascinantna i tajanstvena. Želio bih nastaviti istraživati druge nevjerojatne brojeve u matematici. Ovo će biti predmet mojih sljedećih istraživanja.
Bibliografija.
1. Glazer G.I. Povijest matematike u školi, IV-VI razred. - M.: Obrazovanje, 1982.
2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike - M.: Prosveshchenie, 1989.
3. Zhukov A.V. Sveprisutni broj "pi". - M.: Editorial URSS, 2004.
4. Kympan F. Povijest broja “pi”. - M.: Nauka, 1971.
5. Svechnikov A.A. putovanje u povijest matematike - M.: Pedagogika - Press, 1995.
6. Enciklopedija za djecu. T.11.Matematika - M.: Avanta +, 1998.
Internet resursi:
- http:// crow.academy.ru/materials_/pi/history.htm
http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/
BROJ str – omjer opsega kruga i njegovog promjera, konstantna je veličina i ne ovisi o veličini kruga. Broj koji izražava ovaj odnos obično se označava grčkim slovom 241 (od “perijereia” - krug, periferija). Ova notacija ušla je u upotrebu s radom Leonharda Eulera 1736., ali ju je prvi upotrijebio William Jones (1675. – 1749.) 1706. Kao i svaki iracionalni broj, predstavljen je beskonačnim neperiodičnim decimalnim razlomkom:
str= 3,141592653589793238462643... Potrebe praktičnih proračuna vezanih uz krugove i okrugla tijela natjerale su nas da već u antičko doba tražimo 241 aproksimaciju pomoću racionalnih brojeva. Podatak da je krug točno tri puta duži od promjera nalazi se na klinastim pločama drevne Mezopotamije. Ista vrijednost broja str je također u tekstu Biblije: “I načini more od bakra, deset lakata od jednog kraja do drugog, potpuno okruglo, pet lakata visoko, a oko njega je bila uža od trideset lakata” (1. Kraljevima 7:23). ). Isto su vjerovali i stari Kinezi. Ali već u 2 tisuće pr. stari Egipćani koristili su precizniju vrijednost za broj 241, koja se dobiva iz formule za površinu promjera kruga d:
Ovo pravilo iz 50. problema Rhindovog papirusa odgovara vrijednosti 4(8/9) 2 » 3,1605. Papirus Rhind, pronađen 1858., nazvan je po svom prvom vlasniku, prepisao ga je pisar Ahmes oko 1650. godine prije Krista, autor originala je nepoznat, samo je utvrđeno da je tekst nastao u drugoj polovici 19. stoljeća. PRIJE KRISTA. Iako je iz konteksta nejasno kako su Egipćani primili samu formulu. U takozvanom Moskovskom papirusu, koji je prepisao izvjesni student između 1800. i 1600. pr. iz starijeg teksta, oko 1900. pr. Kr., postoji još jedan zanimljiv problem o izračunavanju površine košare "s rupom od 4½". Ne zna se kakvog je oblika bila košara, ali svi se istraživači slažu da je ovdje radi broja str uzima se ista približna vrijednost 4(8/9) 2.
Da biste razumjeli kako su drevni znanstvenici dobili ovaj ili onaj rezultat, trebate pokušati riješiti problem koristeći samo znanje i tehnike izračunavanja tog vremena. Upravo to rade istraživači drevnih tekstova, no rješenja koja uspijevaju pronaći nisu nužno “ista”. Vrlo često se za jedan problem nudi nekoliko mogućnosti rješenja, svatko može odabrati po svom ukusu, ali nitko ne može tvrditi da je to rješenje koje se koristilo u davna vremena. Što se tiče površine kruga, hipoteza A.E. Raika, autora brojnih knjiga o povijesti matematike, čini se prihvatljivom: površina kruga je promjer d uspoređuje se s područjem kvadrata opisanog oko njega, iz kojeg se redom uklanjaju mali kvadrati sa stranicama i (slika 1). U našoj notaciji, izračuni će izgledati ovako: u prvoj aproksimaciji, površina kruga S jednaka razlici između površine kvadrata i njegove stranice d a ukupne površine četiri mala kvadrata A sa strane d:
Ovu hipotezu podupiru slični izračuni u jednom od problema moskovskog papirusa, gdje se predlaže brojanje
Od 6. stoljeća PRIJE KRISTA. matematika se brzo razvijala u staroj Grčkoj. Stari grčki geometri su bili ti koji su strogo dokazali da je opseg kruga proporcionalan njegovom promjeru ( l = 2str R; R– radijus kruga, l – njegova duljina), a površina kruga jednaka je polovici umnoška opsega i polumjera:
S = ½ l R = str R 2 .
Ti se dokazi pripisuju Eudoksu iz Knida i Arhimedu.
U 3.st. PRIJE KRISTA. Arhimed u svom eseju O mjerenju kruga izračunao opsege pravilnih poligona upisanih u krug i oko njega opisanih (slika 2) - od 6- do 96-kuta. Tako je utvrdio da broj str je između 3 10/71 i 3 1/7, tj. 3.14084< str < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (str„3.14166) pronašao je slavni astronom, tvorac trigonometrije Klaudije Ptolemej (2. stoljeće), ali nije ušao u upotrebu.
U to su vjerovali Indijci i Arapi str= . To značenje daje i indijski matematičar Brahmagupta (598. - oko 660.). U Kini su znanstvenici u 3.st. koristio vrijednost od 3 7/50, što je lošije od Arhimedove aproksimacije, ali u drugoj polovici 5.st. Zu Chun Zhi (oko 430. – oko 501.) dobio je za str približno 355/113 ( str"3,1415927). Ostao je nepoznat Europljanima, a ponovno ga je otkrio nizozemski matematičar Adrian Antonis tek 1585. Ova aproksimacija proizvodi pogrešku od samo sedmog decimalnog mjesta.
Potraga za točnijom aproksimacijom str nastavio u budućnosti. Na primjer, al-Kashi (prva polovica 15. stoljeća) u Traktat o krugu(1427) izračunao je 17 decimala str. U Europi je isto značenje pronađeno 1597. godine. Da bi to učinio, morao je izračunati stranicu pravilnog 800 335 168-kuta. Nizozemski znanstvenik Ludolf Van Zeijlen (1540. – 1610.) pronašao je 32 točna decimalna mjesta za njega (objavljeno posthumno 1615.), aproksimaciju koja se naziva Ludolfov broj.
Broj str pojavljuje se ne samo pri rješavanju geometrijskih problema. Od vremena F. Viete (1540. – 1603.), potraga za granicama određenih aritmetičkih nizova sastavljenih prema jednostavnim zakonima dovela je do istog broja str. S tim u vezi, pri određivanju broja str Sudjelovali su gotovo svi poznati matematičari: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. W. Leibniz, L. Euler. Dobili su razne izraze za 241 u obliku beskonačnog umnoška, zbroja niza, beskonačnog razlomka.
Na primjer, 1593. godine F. Viet (1540.–1603.) izveo je formulu
Godine 1658. Englez William Brounker (1620. – 1684.) pronašao je prikaz broja str kao beskonačni nastavljeni razlomak
međutim, nepoznato je kako je došao do ovog rezultata.
Godine 1665. John Wallis (1616–1703) je to dokazao
Ova formula nosi njegovo ime. Malo je koristan za praktično određivanje broja 241, ali je koristan u raznim teorijskim raspravama. Ušao je u povijest znanosti kao jedan od prvih primjera beskrajnih radova.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) 1673. godine uspostavio je sljedeću formulu:
izražavanje broja str/4 kao zbroj niza. Međutim, ovaj niz vrlo sporo konvergira. Izračunati str točno do deset znamenki, bilo bi potrebno, kao što je pokazao Isaac Newton, pronaći zbroj od 5 milijardi brojeva i potrošiti oko tisuću godina neprekidnog rada na to.
Londonski matematičar John Machin (1680. – 1751.) 1706. godine, primjenom formule
dobio izraz
koji se i danas smatra jednim od najboljih za približne proračune str. Potrebno je samo nekoliko sati ručnog brojanja da se pronađe istih deset točnih decimalnih mjesta. John Machin je sam izračunao str sa 100 točnih znakova.
Korištenje iste serije za arctg x i formule
vrijednost broja str dobiven je na računalu s točnošću od sto tisuća decimalnih mjesta. Ova vrsta izračuna je zanimljiva u vezi s konceptom slučajnih i pseudoslučajnih brojeva. Statistička obrada uređene zbirke određenog broja znakova str pokazuje da ima mnoge značajke slučajnog niza.
Postoji nekoliko zabavnih načina za pamćenje brojeva str precizniji od samo 3.14. Na primjer, nakon što ste naučili sljedeći katren, lako možete imenovati sedam decimalnih mjesta str:
Samo treba probati
I zapamti sve kako jest:
Tri, četrnaest, petnaest,
Devedeset dva i šest.
(S. Bobrov Čarobni dvorog)
Brojanje broja slova u svakoj riječi sljedećih izraza također daje vrijednost broja str:
"Što ja znam o krugovima?" ( str"3.1416). Ovu je izreku predložio Ya.I. Perelman.
“Dakle, znam broj koji se zove Pi. - Dobro napravljeno!" ( str"3,1415927).
“Nauči i upoznaj broj iza broja, kako uočiti sreću” ( str"3,14159265359).
Učitelj u jednoj od moskovskih škola smislio je rečenicu: "Ja to znam i savršeno se sjećam", a njegov učenik je sastavio smiješan nastavak: "I mnogi znakovi su mi nepotrebni, uzalud." Ovaj par vam omogućuje definiranje 12 znamenki.
Ovako izgleda 101 broj str nema zaokruživanja
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
U današnje vrijeme uz pomoć računala značenje broja str izračunati s milijunima točnih znamenki, ali takva preciznost nije potrebna ni u jednom izračunu. Ali mogućnost analitičkog utvrđivanja broja ,
U posljednjoj formuli brojnik sadrži sve proste brojeve, a nazivnici se od njih razlikuju za jedan, a nazivnik je veći od brojnika ako ima oblik 4 n+ 1, inače manje.
Iako se od kraja 16. stoljeća, t j . Otkako su se formirali sami pojmovi racionalnih i iracionalnih brojeva, mnogi su znanstvenici uvjereni da str- iracionalan broj, no tek je 1766. njemački matematičar Johann Heinrich Lambert (1728.–1777.) na temelju odnosa između eksponencijalne i trigonometrijske funkcije koje je otkrio Euler to strogo dokazao. Broj str ne može se predstaviti kao jednostavan razlomak, bez obzira na to koliko su veliki brojnik i nazivnik.
Godine 1882. profesor na Sveučilištu u Münchenu Carl Louise Ferdinand Lindemann (1852. – 1939.), koristeći se rezultatima francuskog matematičara C. Hermitea, dokazao je da str– transcendentni broj, tj. nije korijen nijedne algebarske jednadžbe a n x n + a n– 1 xn– 1 + … + a 1 x+a 0 = 0 s cjelobrojnim koeficijentima. Ovaj dokaz stavio je točku na povijest drevnog matematičkog problema kvadrature kruga. Tisućljećima je ovaj problem prkosio naporima matematičara; izraz "kvadratura kruga" postao je sinonim za nerješiv problem. I pokazalo se da je cijela poanta transcendentalna priroda broja str.
U znak sjećanja na ovo otkriće Lindemannu je postavljena bista u dvorani ispred matematičke slušaonice na Sveučilištu u Münchenu. Na postolju ispod njegovog imena nalazi se krug presječen kvadratom jednake površine unutar kojeg je upisano slovo str.
Marina Fedosova
