Конспект урока математики в 5 классе на тему « Приближенные значения чисел. Округление чисел» по учебнику Н.Я. Виленкина.

Ход урока.

Организационный момент. (Слайд 1) Здравствуйте, ребята. Проверьте, все ли готовы к уроку. Прошу вашего внимания. Начинаем наш урок.

Проверка домашнего задания. (Слайд 2) На слайде ребята видят решение домашнего задания. Открывают тетради и проверяют свои решения. Оценивают свою работу следуя инструкции на слайде. № 1264. Разложите по разрядам числа:

41, 87 = 40 + 1 + 0,8 + 0,07

0, 6098 = 0,6 + 0,009 + 0,0008

13,5401 = 10 + 3 + 0,5 + 0,04 + 0,0001

№ 1265. Запишите десятичную дробь:

а) 21, 28 б) 0, 035

№ 2(а, в, д, е). Запишите натуральное число:

а) 903 в) 3241 д) 3950 е) 7008

Инструкция по проверке: Поставьте себе оценки:

Всего 9 заданий. При верном выполнении всех заданий – «5»

При неверном выполнении 1-2 заданий – «4»

При неверном выполнении от 3 до 5 заданий – «3»

При неверном выполнении более 5 заданий – «2»

После проверки учитель просит поднять руки тех, кто поставил себе «5», затем – «4», и т.д. и поставить оценки в оценочный лист. Разбирает допущенные ошибки. Дает рекомендации тем, у кого были ошибки, что нужно повторить.

Устный счет. (Слайды 3 и 4) В устном счете повторяют пройденный материал. Идет подготовка к изучению нового материала. Задание №1. Дано число 1742,03865.

В каком разряде записана цифра? Занесите в таблицу (на слайде) соответствующие буквы. 1)сотых; 2) десятков; 3) сотен; 4) тысячных; 5)тысяч; 6) десятых; 7)единиц н) 0 у) 1 а) 2 ф) 3 о) 4 м) 5 к) 6 р) 7 т) 8

В таблице получилось слово

«фортуна». На слайде дети видят

значение слова.

Форту́на ( Fortuna ) - богиня .

Учитель желает детям удачи на уроке.

Задание № 2. Найдите значение выражения:

1) 2,7 – 0,6 2) 3,5 + 2,3 3) 5,8 – 1,9 4) 0,69 + 0 5) 3,6 + 0,8 6) 7,1 – 0 7) 0,84 – 0,22 8) 4,9 + 6,3 9) 2 – 0,6 10) 0,29 + 0,33 Прочитайте получившееся слово, если ответам в примерах сопоставлены в соответствие буквы: 0,62 - е 3,9 – р 4,4 – г 11,2 – н 2,1 – о 1,4 – и 7,1 – л 0,69 – у 5,8 - к. Дети могут записывать буквы на черновике. В результате получилось слово «округление». Это слово мы еще услышим на уроке. Учитель дает качественную оценку классу за работу на этом этапе (хорошо, молодцы, нужно повторить, …). Тем, кто активно работал – поставить количественные оценки в оценочный лист.

4. Актуализация знаний. (Слайд 5)

Решение задачи со слайда 5: Сколько потребуется автомашин для перевозки 6,5 тонн груза, если одна машина может взять не более 2 тонн.

Рассматривая слайд, рассуждая, дети приходят к выводу, что ответ 3,…. автомашин дать нельзя. Какой нужно дать ответ? Почему? Объяснения детей. Точный ли дали ответ? Нет. Ответ дали приближенный.

(Слайд 6) Отвечаем на вопрос слайда устно: Я иду в магазин и хочу купить арбуз, весом около 5 килограммов. Вижу несколько арбузов, на этикетках указан их вес: 4,125 кг; 7,340 кг; 8,400кг; 5,300 кг; 9,560кг. Какой вес арбуза мне подходит? Дети выбирают ответ. Какое число выбрали для ответа?

5. Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности. (Слайд 7)

Предположим, что в день переписи населения число жителей города равнялось 57328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число вскоре станет неверным. В нем определенно изменятся цифры разрядов единиц и десятков, а возможно, и сотен. Поэтому можно сказать, что в городе живет приблизительно 57000 человек.

Может быть кто-то из детей слышал еще что-нибудь о приближенных числах. Приведите примеры, когда мы не можем дать в ответе точное число?

(число звезд, капель в море и т.д…)

Какова тема урока? Ответ детей: «Приближенные значения чисел»

А еще? Как мы называем числа, заканчивающиеся нулями? Какое слово мы получили, решая примеры в устном счете? Продолжите тему урока? Ответ детей «Округление чисел».

Что мы должны узнать на уроке? Чему научиться? Каковы задачи урока? Ответы детей: узнать правило округления чисел; научиться округлять числа; применить в упражнениях; узнать, где будем применять эти числа.

Цель и задачи показываются на презентации. Также они записаны на закрытой доске, чтобы при необходимости обращаться к ним в течение урока.

6. Открытие нового знания.

Класс разбивается на 3 группы. Самостоятельно изучая п.33 учебника, группам предлагается найти ответы на вопросы:

Какое число называется приближенным значением данного числа с недостатком, с избытком? Объяснить на примерах. (Слайд 8)

Что называется округлением числа до целых? Приведите примеры. (Слайд 9)

Расскажите, как округлить десятичную дробь до какого-нибудь разряда? (Слайд 10)

(Задания группам выдается на карточках. Перед началом работы группам указывается, на какое место в учебнике им нужно обратить особое внимание. Напоминается о правилах работы в группах)

Через 6-7 минут слушаются ответы одного представителя от группы (выбирает выступающего сама группа). После его выступления остальные дети могут дополнить ответ. Остальные группы слушают ответы. Отвечающим разрешается использовать учебник, и, если нужно, зачитать некоторые моменты пункта. Для ответов дети могут использовать демонстрируемые во время ответов слайды.

Две группы оценивают выступление представителя третьей группы, а также тех, кто дополняет ответы.

7. Физкультминутка. (Слайд 11)

На слайде – стишок. Дети выполняют простые упражнения.

8. Закрепление новых знаний. (Слайд 12)

Перед решение упражнений всем предлагается еще раз найти правило округления десятичных дробей. При округлении числа до какого-нибудь разряда все следующие за ним цифры заменяются нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5,6,7,8, или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на единицу; если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 0,1,2,3,4, то стоящую перед ней цифру не изменяют (на слайде).

Вот как дается определение понятия «округление числа»: Округление числа - математическая операция, позволяющая уменьшить количество знаков в числе за счет замены числа его приближённым значением с определённой точностью.

Правило большое, трудное. Детям предлагается составить алгоритм округления чисел. Обсудив в группах, предлагаются варианты алгоритма. Учитель корректирует. Алгоритм демонстрируется на слайде и записывается в тетради. (Слайд 13).

Алгоритм:

Находим и подчеркиваем заданный разряд, до которого нужно округлить.

Все, следующие за этим разрядом цифры

заменяем нулями, если они отбрасываем, если они

стоят до запятой стоят после запятой

(можно записать сверху) (можно зачеркнуть карандашом)

К подчеркнутой цифре прибавляем 1, если за ней идет 5,6,7,8,9; и оставляем подчеркнутую цифру без изменения, если за ней идет 0,1,2,3,4.

Записываем результат с помощью знака ≈.

Учитель демонстрирует на примерах применение этого алгоритма. Показывает правильную запись. Знакомит со значком ≈ «приближенно равно» (Слайд 14 и 15). Дети записывают пример в тетради.

1 0

286,3 0 58 ≈ 286,31 3 1 4,25 ≈ 310

Важно! (Слайд 16)

Если при округлении десятичной дроби последней из оставшихся цифрой в дробной части окажется 0, то отбрасывать его нельзя (как мы это делали с точными числами). В этом случае число о в конце дробной части показывает, до какого разряда округлено число.

1) 31,967≈32,0- округлили до десятых

2) 3,027≈3,0 -округлили до десятых

3) 0,796≈0,80- округлили до сотых

4) 13,5203≈13,520- округлили до тысячных.

Выполняется задание на карточках (отдельно по вариантам).

Ф И О Округлите число 7492,5981 до: (1 вариант)

Округлите число 4836,9751 до: (2 вариант)

тысяч

сотен

десятков

единиц

десятых

сотых

тысячных

7000

7500

7490

7493

7492,6

7492,60

7492,598

5000

4800

4840

4837

4837,0

4836,98

4836,975

Или - и оценка

(Слайд 17)

Затем даются ответы (на слайде) и дети проверяют задание у своего соседа по парте прямо на карточке, поставив «+» или «-« в нижней строке таблицы.

Если возникают затруднения, то задание разбирается у доски. Показывают те ученики, которые правильно сделали это задание.

Дети ставят друг другу оценки. А учитель вопросами «Кому поставили «5», «4» и т.д.?» узнает об успешности выполнения задания. (учитель фиксирует для себя тех, кто хорошо или плохо выполнил задание)

9. Контроль и самоконтроль знаний. (Слайд 18)

Детям предлагается выполнить самостоятельную работу с последующей самопроверкой. Задание на слайде. Детям выдаются карточки с табличками, в которых они должны поставить «+» или «-«, а затем по ключу проверить и оценить свою работу. Ключ демонстрируется на слайде.

Задание: Верно ли выполнено округление? Отметьте верные ответы знаком «+», неверные знаком «-».

А) до десятых

2,781 ≈ 2,8

3,1458 ≈ 3,15

1025,962 ≈1025,0

80,46 ≈ 80,5

Б) до сотых

0,07258 ≈ 0,07

20,091 ≈ 20,1

85,544 ≈ 85,54

3,355 ≈ 3,35

В) до десятков

178,5 ≈ 179

2085,35 ≈ 2090

333,3 ≈ 330

300,17 ≈ 300

Г) до целых

7,265 ≈ 7

0,23 ≈ 0

11,63 ≈ 11

0,82 ≈ 1

Ключ к заданию: а) + - - + б)+ - + - в)- + + + г)+ + - +

(Слайд 19) Критерии оценки: 0 ошибок – «5», 4 ошибки – «4», 8 ошибок – «3».

После проверки дети поднимают руки на «5», «4», и т.д. (учитель фиксирует для себя тех, кто хорошо или плохо выполнил задание).

10. Информация о домашнем задании.(Слайд 20)

Задание обязательное: п.33 (учить правило округления, алгоритм учить по тетради), № 1297, 1301.

Творческое задание (необязательное): Придумать задачу, в которой было бы решение с помощью сложения и вычитания и округления десятичных дробей, красиво ее оформить на отдельном альбомном листе, записать условие задачи и нарисовать рисунок к этому условию, а в тетрадь записать её решение.

Попытайтесь, чтобы ваша задача была интересной, чтобы условия соответствовали действительности.

11. Подведение итогов занятия. (Слайд 21)

Какова была цель урока? Какие были задачи? Достигли ли мы цели?

Выполнили ли поставленные задачи? Что нового узнали? Чему научились? Что еще не получилось на уроке? Что нужно запланировать на следующий урок? Где мы применим изученный материал в жизни и на уроках по другим предметам?

Учитель дает качественную оценку работы класса. Объявляет количественные оценки.

12. Рефлексия. (Слайд 22)

Выберите картинку, соответствующую вашему настроению. Понравилось ли вам на уроке? Что не понравилось? Что бы вы изменили на сегодняшнем уроке?

Всем спасибо за работу на уроке! (Слайд 23)

Лист самооценки

ФИО ____________________________________________________

№ п\п

Этапы урока, задания

Оценки

Домашнее задание

Устный счет

Актуализация знаний

Отчеты групп (по новому материалу)

Решение упражнений

Самостоятельная работа

Настоящий стандарт СЭВ устанавливает правила записи и округления чисел, выраженных в десятичной системе счисления.

Правила записи и округления чисел, установленные в настоящем стандарте СЭВ, предназначены для применения в нормативно-технической, конструкторской и технологической документации.

Настоящий стандарт СЭВ не распространяется на специальные правила округления, установленные в других стандартах СЭВ.

1. ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

1.1. Значащие цифры данного числа - это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множителя 10 n , не учитываются.

	1. Число 12,0	имеет три значащие цифры;
	2. Число 30	имеет две значащие цифры;
	3. Число 120·10 3	имеет три значащие цифры;
	4. Число 0,514·10	имеет три значащие цифры;
	5. Число 0,0056	имеет две значащие цифры.

1.2. Когда необходимо указать, что число является точным, после числа должно быть указано слово «точно» или же последняя значащая цифра печатается жирным шрифтом

Пример. В печатном тексте:

1 кВт·ч = 3 600 000 Дж (точно), или = 3600000 Дж

1.3. Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.

Примеры:

1. Следует различать числа 2,4 и 2,40. Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть например 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

2. Запись 382 означает, что все цифры верны; если за последнюю цифру ручаться нельзя, то число должно быть записано 3,8·10 2 .

3. Если в числе 4720 верны лишь две первые цифры оно должно быть записано 47·10 2 или 4,7·10 3 .

1.4. Число, для которого указывается допускаемое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда как и последняя значащая цифра отклонения.

Примеры:

1.5. Числовые значения величины и ее погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы физических величин.

Пример. 80,555±0,002 кг

1.6. Интервалы между числовыми значениями величин следует записывать:

От 60 до 100 или от 60 до 100

Свыше 100 до 120 или свыше 100 до 120

Свыше 120 до 150 или свыше 120 до 150.

1.7. Числовые значения величин должны указываться в стандартах с одинаковым числомразрядов, которое необходимо для обеспечения требуемых эксплуатационных свойств и качества продукции. Запись числовых значений величин до первого, второго, третьего и т. д. десятичного знака для различных типоразмеров, видов марок продукции одного названия, как правило, должна быть одинаковой. Например, если градация толщины стальной горячекатаной ленты 0,25 мм, то весь ряд толщин ленты должен быть указан с точностью до второго десятичного знака.

В зависимости от технической характеристики и назначения продукции количество десятичных знаков числовых значений величин одного и того же параметра, размера, показателя или нормы может иметь несколько ступеней (групп) и должно быть одинаковым только внутри этой ступени (группы).

2. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

2.1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Пример. Округление числа 132,48 до четырех значащих цифр будет 132,5.

2.2. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Пример. Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.

2.3. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,145 до двух значащих цифр дает 0,15.

Примечание. В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, следует поступать следующим образом:

1) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра сохраняется;

Пример. Округление до одной значащей цифры числа 0,15 (полученного после округления числа 0,149) дает 0,1.

2) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды).

Пример. Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.

2.4. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.

2.5. Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.

Пример. Округление числа 565,46 до трех значащих цифр производится непосредственно на 565. Округление по этапам привело бы к:

565,46 в I этапе - к 565,5,

а во II этапе - 566 (ошибочно).

2.6. Целые числа округляют по тем же правилам, как и дробные.

Пример. Округление числа 12 456 до двух значащих цифр дает 12·10 3 .

Тема 01.693.04-75.

3. Стандарт СЭВ утвержден на 41-м заседании ПКС.

4. Сроки начала применения стандарта СЭВ:

Страны - члены СЭВ	Срок начала применения стандарта СЭВ в договорно-правовых отношениях по экономическому и научно-техническому сотрудничеству	Срок начала применения стандарта СЭВ в народном хозяйстве
НРБ	Декабрь 1979 г.	Декабрь 1979 г.
ВНР	Декабрь 1978 г.	Декабрь 1978 г.
ГДР	Декабрь 1978 г.	Декабрь 1978 г.
Республика Куба
МНР
ПНР
СРР
СССР	Декабрь 1979 г.	Декабрь 1979 г.
ЧССР	Декабрь 1978 г.	Декабрь 1978 г.

5. Срок первой проверки - 1981 г., периодичность проверки - 5 лет.

Сегодня мы рассмотрим довольно скучную тему, без понимания которой двигаться дальше не представляется возможным. Эта тема называется «округление чисел» или по-другому «приближённые значения чисел».

Содержание урока

Приближённые значения

Приближённые (или приблизительные) значения применяются тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например, на словах можно сказать, что в городе проживает полмиллиона человек, но это высказывание не будет истинным, поскольку количество человек в городе меняется — люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают. Поэтому правильнее будет сказать, что в городе проживает приблизительно полмиллиона человек.

Ещё пример. В девять утра начинаются занятия. Мы вышли из дома в 8:30. Через некоторое время по дороге мы встретили своего товарища, который спросил у нас сколько сейчас времени. Когда мы выходили из дома было 8:30, на дорогу мы потратили какое-то неизвестное время. Мы не знаем сколько сейчас времени, поэтому отвечаем товарищу: «сейчас приблизительно около девяти часов».

В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака. Выглядит он следующим образом:

Читается как «приблизительно равно».

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, прибегают к такой операции, как округление чисел.

Округление чисел

Для нахождения приближенного значения применяется такая операция, как округление чисел .

Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулем. Например, следующие числа являются круглыми,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числа .

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак . По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.

Рассмотрим простой пример на округление. Дано число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.

Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, от нас требуют найти ближайшее круглое число для числа 17. При этом, в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и цифры, которая находится в разряде десятков в числе 17 (т.е единицы).

Представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что для числа 17 ближайшее круглое число это 20. Значит ответ к задаче таким и будет: 17 приблизительно равно 20

17 ≈ 20

Мы нашли приближённое значение для 17, то есть округлили его до разряда десятков. Видно, что после округления в разряде десятков появилась новая цифра 2.

Попробуем найти приближённое число для числа 12. Для этого снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что ближайшее круглое число для 12 это число 10. Значит ответ к задаче таким и будет: 12 приблизительно равно 10

12 ≈ 10

Мы нашли приближённое значение для 12, то есть округлили его до разряда десятков. В этот раз цифра 1, которая стояла в разряде десятков в числе 12, не пострадала от округления. Почему так случилось мы рассмотрим позже.

Попробуем найти ближайшее число для числа 15. Снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что число 15 одинаково удалено от круглых чисел 10 и 20. Возникает вопрос: которое из этих круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать большее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

15 ≈ 20

Округлять можно и большие числа. Естественно, для них рисовать прямую линию и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлим число 1456 до разряда десятков.

Мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Разряд десятков начинается на пятёрке:

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60. Значит заменяем число 56 на число 60

Значит при округлении числа 1456 до разряда десятков получим 1460

1456 ≈ 1460

Видно, что после округления числа 1456 до разряда десятков, изменения коснулись и самого разряда десятков. В новом полученном числе в разряде десятков теперь располагается цифра 6, а не 5.

Округлять числа можно не только до разряда десятков. Округлять можно также до разряда сотен, тысяч, десятков тысяч.

После того, как становится понятно, что округление это ни что иное, как поиск ближайшего числа, можно применять готовые правила, которые значительно облегчают округление чисел.

Первое правило округления

Из предыдущих примеров стало ясно, что округляя число до определенного разряда, младшие разряды заменяются нулями. Цифры, которые заменяются нулями, называют отбрасываемыми цифрами .

Первое правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Например, округлим число 123 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 123 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится двойка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 2

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после двойки это цифра 3. Значит цифра 3 является первой отбрасываемой цифрой .

Теперь применяем правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 2 заменяем нулями (точнее нулём):

123 ≈ 120

Значит при округлении числа 123 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 120.

Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен .

Нам требуется округлить число 123 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 1, поскольку мы округляем число до разряда сотен.

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после единицы это цифра 2. Значит цифра 2 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применим правило. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 1 заменяем нулями:

123 ≈ 100

Значит при округлении числа 123 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 100.

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 3. А первая отбрасываемая цифра это 4.

Значит оставляем сохраняемую цифру 3 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

1234 ≈ 1230

Пример 4. Округлить число 1234 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 2. А первая отбрасываемая цифра это 3. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 2 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1200

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 1. А первая отбрасываемая цифра это 2. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 1 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1000

Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 7

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после семёрки это цифра 5. Значит цифра 5 является первой отбрасываемой цифрой .

У нас первая из отбрасываемых цифр это 5. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что следует после неё заменить нулём:

675 ≈ 680

Значит при округлении числа 675 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 680.

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен .

Нам требуется округлить число 675 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 6, поскольку мы округляем число до разряда сотен:

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после шестёрки это цифра 7. Значит цифра 7 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 6, а всё что следует после неё заменить нулями:

675 ≈ 700

Значит при округлении числа 675 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 700.

Пример 3. Округлить число 9876 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 7. А первая отбрасываемая цифра это 6.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

9876 ≈ 9880

Пример 4. Округлить число 9876 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 8. А первая отбрасываемая цифра это 7. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 8, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 9900

Пример 5. Округлить число 9876 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 9. А первая отбрасываемая цифра это 8. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 9, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 10000

Пример 6. Округлить число 2971 до сотен.

При округлении этого числа до сотен следует быть внимательным, поскольку сохраняемая цифра здесь 9, а первая отбрасываемая цифра это 7. Значит цифра 9 должна увеличиться на единицу. Но дело в том, что после увеличения девятки на единицу получится 10, а это цифра не вместится в разряд сотен нового числа.

В этом случае, в разряде сотен нового числа надо записать 0, а единицу перенести на следующий разряд и сложить с цифрой, которая там находится. Далее заменить все цифры после сохраняемой нулями:

2971 ≈ 3000

Округление десятичных дробей

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, поскольку десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И каждая из этих двух частей имеет свои разряды:

Разряды целой части:

разряд единиц
разряд десятков
разряд сотен
разряд тысяч

Разряды дробной части:

разряд десятых
разряд сотых
разряд тысячных

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков , а не разряда десятых . Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков располагается в целой части, а разряд десятых в дробной.

Мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц . Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. Оставшаяся дробная часть будет отброшена:

123,456 ≈ 123,0

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей. Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых располагается цифра 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,500

Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых. Сохраняемая цифра здесь это 5, а первая из отбрасываемых цифр это 6, которая находится в разряде тысячных:

Значит сохраняемая цифра 5 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,460

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасывают.

Правило 1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.

Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, различные округления числа 35,856 будут 35,86; 35,9; 36.

Правило 3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если она нечетная. Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,465 округляем до 0,46.

8. ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Определение плотности твердых тел. Предположим, твердое тело имеет форму цилиндра. Тогда плотность ρ может быть определена по формуле:

где D – диаметр цилиндра, h – его высота, m – масса.

Пусть в результате измерений m, D, и h получены следующие данные:

№ п/п	m, г	Δm, г	D, мм	ΔD, мм	h, мм	Δh, мм	, г/см 3	Δ , г/см 3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
среднее			12,61		80,2		5,11

Определим среднее значение D̃:

Найдем погрешности отдельных измерений и их квадраты

Определим среднюю квадратичную погрешность серии измерений:

Задаем значение надежности α = 0,95 и по таблице находим коэффициент Стьюдента t α . n =2,8 (для n = 5). Определяем границы доверительного интервала:

Так как вычисленное значение ΔD = 0,07 мм значительно превышает абсолютную ошибку микрометра, равную 0,01 мм (измерение производится микрометром), то полученное значение может служить оценкой границы доверительного интервала:

D = D ̃ ± ΔD ; D = (12,61 ±0,07) мм.

Определим значение h̃:

Следовательно:

Для α = 0,95 и n = 5 коэффициент Стьюдента t α , n = 2,8.

Определяем границы доверительного интервала

Так как полученное значение Δh = 0,11 мм того же порядка, что и ошибка штангенциркуля, равная 0,1 мм (измерение h производится штангенциркулем), то границы доверительного интервала следует определить по формуле:

Следовательно:

Вычислим среднее значение плотности ρ:

Найдем выражение для относительной погрешности:

где

7. ГОСТ 16263-70 Метрология. Термины и определения.

8. ГОСТ 8.207-76 Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений.

9. ГОСТ 11.002-73 (ст. СЭВ 545-77) Правила оценки аномальности результатов наблюдений.

Царьковская Надежда Ивановна

Сахаров Юрий Георгиевич

Общая физика

Методические указания к выполнению лабораторных работ «Введение в теорию погрешностей измерений» для студентов всех специальностей

Формат 60*84 1/16 Объем 1 уч.-изд. л. Тираж 50 экз.

Заказ ______ Бесплатно

Брянская государственная инженерно-технологическая академия

Брянск, проспект Станке Димитрова, 3, БГИТА,

Редакционно-издательский отдел

Отпечатано – подразделение оперативной печати БГИТА

В некоторых случаях, точное число при делении определенной суммы на конкретное число невозможно определить в принципе. Например, при делении 10 на 3, у нас получается 3,3333333333…..3, то есть, данное число невозможно использовать для подсчета конкретных предметов и в других ситуациях. Тогда данное число следует привести к определенному разряду, например, к целому числу или к числу с десятичным разрядом. Если мы приведем 3,3333333333…..3 к целому числу, то получим 3, а приводя 3,3333333333…..3 к числу с десятичным разрядом, получим 3,3.

Правила округления

Что такое округление? Это отбрасывание нескольких цифр, которые являются последними в ряду точного числа. Так, следуя нашему примеру, мы отбросили все последние цифры, чтобы получить целое число (3) и отбросили цифры, оставив только разряды десятков (3,3). Число можно округлять до сотых и тысячных, десятитысячных и прочих чисел. Все зависит от того, насколько точное число необходимо получить. Например, при изготовлении медицинских препаратов, количество каждого из ингредиентов лекарства берется с наибольшей точностью, поскольку даже тысячная грамма может привести к летальному исходу. Если же необходимо подсчитать, какая успеваемость учеников в школе, то чаще всего используется число с десятичным или с сотым разрядом.

Рассмотрим иной пример, в котором применяются правила округления. Например, имеется число 3,583333, которое необходимо округлить до тысячных - после округления, за запятой у нас должно остаться три цифры, то есть результатом станет число 3,583. Если же это число округлять до десятых, то у нас получится не 3,5, а 3,6, поскольку после «5» стоит цифра «8», которая приравнивается уже к «10» во время округления. Таким образом, следуя правилам округления чисел, необходимо знать, если цифры больше «5», то последняя цифра, которую необходимо сохранить, будет увеличена на 1. При наличии цифры, меньшей, чем «5», последняя сохраняемая цифра остается неизменной. Такие правила округления чисел применяются независимо от того, до целого числа или до десятков, сотых и т.д. необходимо округлить число.

В большинстве случаев, при необходимости округления числа, в котором последняя цифра «5», этот процесс выполняется неправильно. Но существует еще и такое правило округления, которое касается именно таких случаев. Рассмотрим на примере. Необходимо округлить число 3,25 до десятых. Применяя правила округления чисел, получим результат 3,2. То есть, если после «пяти» нет цифры или стоит ноль, то последняя цифра остается неизменной, но только при условии, что она является четной - в нашем случае «2» - это четная цифра. Если бы нам необходимо было выполнить округление 3,35, то результатом бы стало число 3,4. Поскольку, в соответствии с правилами округления, при наличии нечетной цифры перед «5», которую необходимо убрать, нечетная цифра увеличивается на 1. Но только при условии, что после «5» нет значащих цифр. Во многих случаях, могут применяться упрощенные правила, согласно которым, при наличии за последней сохраняемой цифрой значений цифр от 0 до 4, сохраняемая цифра не изменяется. При наличии других цифр, последняя цифра увеличивается на 1.