Впервые отрицательные числа стали использовать в древнем Китае и в Индии, в Европе их ввели в математический обиход Николя Шюке (1484 год) и Михаэль Штифель (1544).
Алгебраические свойства
не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a , b и c .
| сложение | умножение | |
| замкнутость : | a + b - целое | a × b - целое |
| ассоциативность : | a + (b + c ) = (a + b ) + c | a × (b × c ) = (a × b ) × c |
| коммутативность : | a + b = b + a | a × b = b × a |
| существование нейтрального элемента : | a + 0 = a | a × 1 = a |
| существование противоположного элемента : | a + (−a ) = 0 | a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым |
| дистрибутивность умножения относительно сложения: | a × (b + c ) = (a × b ) + (a × c ) | |
числовых систем |заголовок4= Иерархия чисел |список4=
|
|||||||||||||
| Комплексные числа | |||||||||||||
числовые системы
|список5=Кардинальные числа
– Непременно надо перенести на кровать, здесь никак нельзя будет…
Больного так обступили доктора, княжны и слуги, что Пьер уже не видал той красно желтой головы с седою гривой, которая, несмотря на то, что он видел и другие лица, ни на мгновение не выходила у него из вида во всё время службы. Пьер догадался по осторожному движению людей, обступивших кресло, что умирающего поднимали и переносили.
– За мою руку держись, уронишь так, – послышался ему испуганный шопот одного из слуг, – снизу… еще один, – говорили голоса, и тяжелые дыхания и переступанья ногами людей стали торопливее, как будто тяжесть, которую они несли, была сверх сил их.
Несущие, в числе которых была и Анна Михайловна, поровнялись с молодым человеком, и ему на мгновение из за спин и затылков людей показалась высокая, жирная, открытая грудь, тучные плечи больного, приподнятые кверху людьми, державшими его под мышки, и седая курчавая, львиная голова. Голова эта, с необычайно широким лбом и скулами, красивым чувственным ртом и величественным холодным взглядом, была не обезображена близостью смерти. Она была такая же, какою знал ее Пьер назад тому три месяца, когда граф отпускал его в Петербург. Но голова эта беспомощно покачивалась от неровных шагов несущих, и холодный, безучастный взгляд не знал, на чем остановиться.
Прошло несколько минут суетни около высокой кровати; люди, несшие больного, разошлись. Анна Михайловна дотронулась до руки Пьера и сказала ему: «Venez». [Идите.] Пьер вместе с нею подошел к кровати, на которой, в праздничной позе, видимо, имевшей отношение к только что совершенному таинству, был положен больной. Он лежал, высоко опираясь головой на подушки. Руки его были симметрично выложены на зеленом шелковом одеяле ладонями вниз. Когда Пьер подошел, граф глядел прямо на него, но глядел тем взглядом, которого смысл и значение нельзя понять человеку. Или этот взгляд ровно ничего не говорил, как только то, что, покуда есть глаза, надо же глядеть куда нибудь, или он говорил слишком многое. Пьер остановился, не зная, что ему делать, и вопросительно оглянулся на свою руководительницу Анну Михайловну. Анна Михайловна сделала ему торопливый жест глазами, указывая на руку больного и губами посылая ей воздушный поцелуй. Пьер, старательно вытягивая шею, чтоб не зацепить за одеяло, исполнил ее совет и приложился к ширококостной и мясистой руке. Ни рука, ни один мускул лица графа не дрогнули. Пьер опять вопросительно посмотрел на Анну Михайловну, спрашивая теперь, что ему делать. Анна Михайловна глазами указала ему на кресло, стоявшее подле кровати. Пьер покорно стал садиться на кресло, глазами продолжая спрашивать, то ли он сделал, что нужно. Анна Михайловна одобрительно кивнула головой. Пьер принял опять симметрично наивное положение египетской статуи, видимо, соболезнуя о том, что неуклюжее и толстое тело его занимало такое большое пространство, и употребляя все душевные силы, чтобы казаться как можно меньше. Он смотрел на графа. Граф смотрел на то место, где находилось лицо Пьера, в то время как он стоял. Анна Михайловна являла в своем положении сознание трогательной важности этой последней минуты свидания отца с сыном. Это продолжалось две минуты, которые показались Пьеру часом. Вдруг в крупных мускулах и морщинах лица графа появилось содрогание. Содрогание усиливалось, красивый рот покривился (тут только Пьер понял, до какой степени отец его был близок к смерти), из перекривленного рта послышался неясный хриплый звук. Анна Михайловна старательно смотрела в глаза больному и, стараясь угадать, чего было нужно ему, указывала то на Пьера, то на питье, то шопотом вопросительно называла князя Василия, то указывала на одеяло. Глаза и лицо больного выказывали нетерпение. Он сделал усилие, чтобы взглянуть на слугу, который безотходно стоял у изголовья постели.
– На другой бочок перевернуться хотят, – прошептал слуга и поднялся, чтобы переворотить лицом к стене тяжелое тело графа.
Пьер встал, чтобы помочь слуге.
В то время как графа переворачивали, одна рука его беспомощно завалилась назад, и он сделал напрасное усилие, чтобы перетащить ее. Заметил ли граф тот взгляд ужаса, с которым Пьер смотрел на эту безжизненную руку, или какая другая мысль промелькнула в его умирающей голове в эту минуту, но он посмотрел на непослушную руку, на выражение ужаса в лице Пьера, опять на руку, и на лице его явилась так не шедшая к его чертам слабая, страдальческая улыбка, выражавшая как бы насмешку над своим собственным бессилием. Неожиданно, при виде этой улыбки, Пьер почувствовал содрогание в груди, щипанье в носу, и слезы затуманили его зрение. Больного перевернули на бок к стене. Он вздохнул.
– Il est assoupi, [Он задремал,] – сказала Анна Михайловна, заметив приходившую на смену княжну. – Аllons. [Пойдем.]
Пьер вышел.
В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.
Целые числа. Определение, примеры
Вначале вспомним про натуральные числа ℕ . Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.
Определение 1. Целые числа
Целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль.
Множество целых чисел обозначается буквой ℤ .
Множество натуральных чисел ℕ - подмножество целых чисел ℤ . Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.
Из определения следует, что целым является любое из чисел 1 , 2 , 3 . . , число 0 , а также числа - 1 , - 2 , - 3 , . .
В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 являются целыми числами.
Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.
Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0 , а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число.
В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.
Положительные и отрицательные целые числа
Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.
Определение 2. Положительные целые числа
Положительные целые числа - это целые числа со знаком "плюс".
Например, число 7 - целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0 . Другие примеры положительных целых чисел: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .
Определение 3. Отрицательные целые числа
Отрицательные целые числа - это целые числа со знаком "минус".
Примеры целых отрицательных чисел: - 528 , - 2568 , - 1 .
Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным.
Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число.
Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.
Определение 4. Положительные целые числа
Положительные целые числа - это целые числа, которые больше нуля.
Определение 5. Отрицательные целые числа
Отрицательные целые числа - это целые числа, которые меньше нуля.
Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.
Ранее мы уже говорили, что натуральные числа - это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.
Важно!
Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить - нет, не являются.
Неположительные и неотрицательные целые числа
Дадим определения.
Определение 6. Неотрицательные целые числа
Неотрицательные целые числа - это положительные целые числа и число нуль.
Определение 7. Неположительные целые числа
Неположительные целые числа - это отрицательные целые числа и число нуль.
Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.
Примеры неотрицательных целых чисел: 52 , 128 , 0 .
Примеры неположительных целых чисел: - 52 , - 128 , 0 .
Неотрицательное число - это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число - это число, меньшее или равное нулю.
Термины "неположительное число" и "неотрицательное число" используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a - целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a - целое неотрицательное число.
Использование целых чисел при описании изменения величин
Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.
Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200 деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.
Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.
Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).
Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом - 30 , а увеличение на 2 градуса - положительным целым числом 2 .
Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем - 5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак "минус" говорит о том, что мы должны отдать монеты.
Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 - другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:
2 + (- 3) = - 5
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N .
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными , например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными . Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными .
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z .
Рациональные числа
Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,
Множество рациональных чисел обозначается Q . Все целые числа являются рациональными.
Иррациональные числа
Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:
Множество иррациональных чисел обозначается J .
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R .
Округление чисел
Рассмотрим число 8,759123... . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.
К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.
Натуральные числа — это положительные целые числа.
К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)
Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .
К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).
Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .
Арифметические действия с целыми числами
Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.
Сложение целых чисел
Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:
(+11) + (+9) = +20
Вычитание целых чисел
Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:
(-7) + (+8) = +1
Умножение целых чисел
Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:
(-5) \cdot (+3) = -15
(-3) \cdot (-4) = +12
Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :
+ \cdot + = +
+ \cdot - = -
- \cdot + = -
- \cdot - = +
Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:
Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
Деление целых чисел
Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».
(-25) : (+5) = -5
Свойства сложения и умножения целых чисел
Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :
- a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
- (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
- a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.
